J. N. Noël — Propositions de Géométrie appliquée. 225 



très qualités de l'ouvrage demandé. Ici donc , pour l'exactitude et la 

 facilité des opérations >ur le terrain, il faut y calculer la position du 

 point I et la longueur m du moindre chemin total. 



Or, soit Çl = X', il est clair, par deux triangles semblables et par 

 deux triangles rectangles , qu'on aura simultanément 



( a^b) X = ac et m = V/ [(o -+- bf -«- c^] -t- V/ [{o — fc)^-*-c^]. 

 Si les mesures directes ont donné a = 240 , b = 360 et c = 800 , on 

 aura x = 320 et m = 1808™95, environ. De plus , si le sentier le plus 

 court m doit coûter 10 centimes par mètre de longueur, le moindre 

 prix total sera 180 fr. 90, environ. 



Corollaire I. Le triangle ABI a le moindre contour, parmi tous 

 ceux ayant la même base AB et leurs sommets sur la même droite MN. 



II. De tous les triangles , de même base et de hauteur de même 

 longueur, celui de moindre périmètre est isocèle. 



ScHOLiE I. Il est clair que A et B pourraient être les ouvertures 

 de deux réservoirs, dans lesquels l'eau serait amenée par des tuyaux 

 de conduite , aboutissant à un autre réservoir, qu'il faudrait établir 

 sur le bord MN. Et il est clair aussi que , pour l'économie , les tuyaux 

 et les réservoirs devraient être cylindriques. 



II. Quelles que soient les conditions d'économie , exigées par le 

 plus court chemin AIB ^ v, non seulement le problème est toujours 

 possible; mais le vtinimum de v et son maximum sont donnés par l'é- 

 quation unique : 



\/ {0? -i- x') + V/ [fc' + {c-xf\=v. 



On verra que pour le maximum de », o et x sont négatifs ; de sorte 

 qu'alors v est une différence. 



9. Problème. Soit K un point donné dans Fangle aigu CAB , dont les 

 côtés sont l'un AB le bord d'un canal et l'autre AG le bord d'un parterre : 

 en quel point 1 de AB, Vouvrier partant du point K, doit-il prendre de 

 l'eau et la porter dans un réservoir H , à établir sur AC, pour que le che- 

 min KIH soit un minimum ? 



Menant sur AB la perpendiculaire KE , que l'on prolongera de EF 

 = KE et menant FH perpendiculaire à AC ; cette perpendiculaire 

 coupera AB au point I demandé (facile à démontrer). Il faut que 

 l'angle CAB soit aigu ; sans quoi le pied H ne tomberait pas sur \C. 



Ici pour déterminer les deux points I et H , sans sortir de l'angle 

 CAB, on mène, par le point K, la perpendiculaire KG sur AC ; on 

 marque le point N où GK va couper AB; on prend El = EN et l'on 

 cherche avec l'équerre, le pied H de la perpendiculaire IH à AC : on a 

 ainsi les points I et H du plus court chemin demandé KIH , que l'on 

 peut mesurer directement. 



