226 J. N. Noël — Propos/fions de C^Oftiétrie appliquée, 



ScHOLiE I. Si l'on veut trouver, dans l'intérieur d'un triangle , le point 

 dont la somme des distances aux trois côtés soit un minimum; tant que 

 le triangle ne sera pas cquilaléral , le problème sera impossible; et il 

 sera indéterminé , si les trois côtés sont égaux. Car la condition du mi- 

 nimum est que les trois distances fassent trois angles égaux autour du 

 point cherché. 



II. Si les portes de quatre habitations sont aux sommets d'un quadri- 

 latère convexe et que les propriétaires veuillent établir un puits, dans 

 1 intérieur de la figure, et le joindre aux quatre portes par quatre che- 

 mins parés, coûtant chacun 60 centimes le mètre de longueur ; si d'ail- 

 leurs chaque propriétaire doit payer le quart du prix de la construction 

 du puits (qui leur sera commun) et une partie de celui des quatre che- 

 mins, en raison inverse de la longueur du chemin partiel aboutissant à 

 sa porte ; on demande où il faudra placer le puits, pour que le prix total 

 des quatre chemins soient un minimum? (R. A l'intersection des deux 

 diagonales , qu'il faudra mesurer et il faudra connaître en outre le prix 

 de la construction du puits, pour pouvoir calculer ce que chacun doit 

 payer.) 



iO. Problème. Deux points A et B étant situés d'un même côté du 

 canal rectiliyne MN, sur lequel on veut établir un pont i en quel endroit 

 ce pont doit-il se trouver et où, faut-il que les trois branches de route , qui 

 joignent le pont aux deux points A et B , «e réunissent , potir que la somme 

 V de ces trois branches soit un minimum? 



-Appelons le point de réunion des trois branches 0A=* , OB=}j 

 et OC=s, OC étant perpendiculaire à MN; de telle sorte que la 

 somme » = x -{- y -|- s soit un minimum. D'abord si la distance z de- 

 meure invariable et qu'on suppose la droite EOF parallèle à MN, il 

 faudra, pour que v et par conséquent x-\- y soit un minimum, que 

 les deux angles AOE et BOF soient égaux entre eux (n° 8), aussi bien 

 que les deux AOC et BOC. 



Ensuite la longueur x demeurant constante, sera le rayon et A le 

 centre de l'arc circulaire, touchant la droite D au point cherché 0; 

 donc pour que v et par conséquent y -{-z soit un minimum , il faut 

 que B soit dans l'angle aigu de D avec MN et qu'en outre les deux 

 angles de BO et CO avec D soient égaux entre eux (n° 9) , aussi bien 

 par suite que les deux AOC et AOB. 



La somme v ne peut donc être un minimum que quand les trois 

 angles AOC, BOC et AOB valent 120° chacun. 



Cela posé, si l'on avait sur le papier la figure semblable à celle du 

 terrain, on décrirait sur la corde AB et du côté de MN, le segment 

 capable de l'angle 120"; puis menant par le milieu du l'estant de la cir- 



