J. N. Noël. — Propositions de Géométrie appliquée. 227 



conférence , une perpendiculaire à MN , cette perpendiculaire coupe- 

 rait l'arc du segment au point cherché 0. On voit d'ailleurs que le pro- 

 blème est impossible quand la perpendiculaire ne passe point entre 

 A et B, ou lorsque l'arc coupe MN. Dans chacun de ces cas, la 

 moindre route ne doit avoir que deux branches (n° 8). 



Mais il est plus exact et plus simple de procéder sur le terrain même 

 et d'employer le calcul pour déterminer les grandeurs inconnues. On 

 mènera donc avec l'équerre , les perpendiculaires AP et BO sur MN, 

 puis on les mesurera exactement, aussi bien que PQ. Supposons qu'on 

 ait trouvé AP = a = COO mètres , BQ =6= 720 et PQ = c=420. 



Imaginant par la parallèle à MN, coupant AP et BQ en E et F , 

 puis faisant OE = CP == « d'où 0F = c— n, les deux triangles sem- 

 blables AOE et BOF donneront : 



i x = a — z, x = l nv/3,|y = 6 — .z,y = !- {c — n)y 3; 



v = x^^j-\-z=\ (a-t-6-f cj/3) = 1025"75; 



z='- (fl+i) —\c\/ .'5 = 538" 76; a; = 2a — 2«=122'" 48 



etM=ia;j/5= 106" 07. 

 Ces valeurs déterminent les points C et 0. Si d'ailleurs la construction 

 des trois branches coûte 1 fr. 20 par mètre de longueur, le moindre 

 prix total de la construction sera 1228 fr. 48. Mais si la route ne de- 

 vait avoir que deux branches aboutissant au pont C, sa plus petite 

 longueur serait 1383'"2I et coûterait 1662 fr. 25; ce qui serait 433 fr. 

 77 de plus que la moindre route à trois branches. Celle-ci est donc 

 préférable. 



41. Théorème. Un triangle ABC étant donnée la somme des distances 

 de ses trois sommets à un point de son intérieur est un minimum, lors- 

 que les trois angles compris autour de sont égaux chacun à 120°. 



C'est ce qu'on démontre aisément , d'après le n" 8 et en raisonnant 

 comme dans l'article précédent. 



La construction du point est bien facile quand on a sur le papier 

 la figure semblable à celle du terrain : il reste ensuite à trouver , sur 

 le terrain , le point homologue à celui obtenu sur le papier. Ici en- 

 core, pour l'exactitude et la possibilité des opérations, il faut procéder 

 sur le terrain lui-même et y calculer la position du point 0. 



Or, soient a, b, c, les valeurs numériques des côtés du triangle ABC, 

 respectivement opposés aux angles A , B , C; soit v la somme des lon- 

 gueurs inconnues OA=^x,OB=^y eiOG^= z. Comme la distance du 

 sommet de l'angle de 120°, dans chaque triangle partiel, au pied de 

 la hauteur, est négative et moitié du côté adjacent , il est clair qu'on 

 a, pour le minimum delà somme v, les quatre équations simul- 

 tanées : 



