228 J. IV. Noël — Propositions de Géométrie appliquée. 



v = z ■*• y •+■ z, s^ -t- y- •+- xy = c^, 

 :çi -i- z'- -*- xz = b\ y- -i-z'H-yz =o^ 

 La symétrie de ces équations permet de les résoudre par des élimina- 

 tions particulières. D'abord soustrayant la seconde équation hors de la 

 somme des deux dernières, puis élevant au carré de part et d'autre, 

 et soustrayant l'équation résultante hors de 4 fois le produit des deux 

 dernières équations proposées , on trouve 



5 [xy -\-xz\- yzf = 4 a^h'- - (a^ + h^—cj. 

 Le second membre est connu et peut se calculer par logarithmes , 

 après la décomposition en facteurs ; car posant, pour abréger , 2 p 

 = a -i- b-^c , il devient 16 p {p ~-a){p — b) {p — c). Si donc on dé- 

 signe par 3«t^ cette valeur , m sera connu et il viendra l'équation 

 auxiliaire : 



xy -+- xz -^ yz ^^ m. 



L'élimination par addition et soustraction est maintenant bien fa- 

 cile , à l'aide de cette équation : on trouve , en posant 

 n = a^-\-b--\~c^ ef^ q = m -*- n ; 

 2 v^ = 3 m -f- M , var = 5 — a^ , 

 vy=:q — b^ et vz = q — c^. 

 Soient A', B', C les points où les droites AO, BO , CO vont couper 

 les côtés opposés a, 6 , c. La droite OA' étant bissectrice de l'angle 

 BOC , on a c : 2/ : : CA' : a— CA' ; d'où vy •+■ vz : vz : : a : CA'. 

 Substituant donc et procédant de même pour AB' et BC, on trouvera 

 (a^ -t- m) CA' a(q— c"^) , 

 (ft- + m) AB' = 6 (7 — a ^) , 

 {à-{-m)BC= c(q -b'). 



Par ces relations, les longueurs CA' , AB',BC' étant connues, les 

 points A' , B', C, seront déterminés , aussi bien que les trois droites 

 AA' , BB' , ce et leur intersection 0. 



Ce problème est remarquable , non-seulement comme une belle 

 application de l'algèbre à la géométrie ; mais surtout par la manière 

 dont on y élude les difficultés de l'élimination et la complication de 

 l'équation finale, qui devrait naturellement s'élever au 8^ degré. 

 L'équation auxiliaire se trouve d'ailleurs par la double expression de 

 l'aire ABC 



12. THÉORÈME. Parmi tous les triangles de même angle au sommet et 

 daiis lesquels le produit des côtés latéraux est ttn nombre constant • 

 1° celui de moindre lase et de moindre périmètre est isocèle ; 2° ces deux 

 minimums sont d'autant plus petits, que l'angle aigu ou obtus est plus 

 petit hii-même. 



Soient a , b, c les valeurs numériques des côtés respectivement op- 



