J. N. Noël — Propositions de Géométrie appliquée, 229 



posés aux angles A , B , C; supposons ces trois côtés variables, mais 

 l'angle A constant, aussi bien que le produit bc : suivant que l'angle A 

 est aigu ou obtus, on a, comme on sait , 



a^ = i^ ^ c^ =F 2 cb' , 

 b' désignant la projection de b sur c. Soit n la projection sur c de la 

 longueur i , prise sur fc, à partir du sommet A ; on aura i : b y. n : 

 b' =S3 bn et 



o- = i- 4- e^ qi 2 bcn ; d'oÙ 



On a toujours 6' < A et « <" 1 ; d'ailleurs le produit bc est constant et 

 tout est joosi'fî/ dans les deux membres ; il est donc évident que le mi- 

 nimum de la base a répond à fc = c. Ce minimum est donné par 



a'- = ^bc[l =F n). 



Soit posé b = vi -j- j; et c = w — ar, d'où b-\- c = 2 m ; on aura 

 donc m^ — x^ = bc ou m- = ftc -f ^^ Comme bc est invariable, le mi- 

 nimum de M et celui de 2 »« ou fc 4- c répondent à ar = o ou à i = c. 

 Ainsi quand 6 = c , la base a et le périmètre a -f 6 + c sont des mi- 

 nimums. Or , ces minimums diminuent avec l'angle A; car A étant 

 aigu , d'où a' = 2 ic (1 — n) , la projection n augmente et 1 — n 

 diminue avec A ; tandis que si l'angle obtus A diminue,» diminue, 

 aussi bien que 1 + w. 



ScHOLiE.Ces deux propriétés subsistent également lorsque la somme 

 2 m est seule constante, avec l'angle A. Si donc on veut couper, dans 

 un triangle donné d'ébène, ayant partout la même épaisseur, un 

 triangle dont 2>w soit la somme donnée des deux côtés latéraux , il 

 faudra, pour que la section soit un minimum et se fasse le plus aisé- 

 ment possible , choisir le plus petit A des trois angles du triangle 

 d'ébène et prendre, sur les côtés qui le comprennent, à partir du 

 sommet , les longueurs égales à m : on aura les extrémités de la sec- 

 tion minimum cherchée. 



13. Théorème. La somme des distances de tout point de Varc aus extré- 

 mités de la corde , croît, depuis une extrémité de cet arc. où la somme 

 est la moindre , jusqu'au milieu du même arc, où elle est la plus grande. 



C'est ce qu'on démontre , d'après les propriétés des angles inscrits 

 dans un même segment et au moyen de la circonférence , ayant pour 

 centrele milieu de l'arc et passant par les extrémités de celui-ci. 



Corollaire I. De tous les triangles de même base et de même angle 

 au sommet , celui de hauteur et de périmètre maximums est isocèle. 



II. Réciproquement, le triangle isocèle, parmi tous les triangles 

 de même base et de même hauteur, est celui de moindre contour et 

 de plus grand angle au sommet (à démontrer). 



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