230 J- N. Noël. — Propositions de Géométrie appliquée. 



\A. Théorème. Parmi tous les polygones d'un même riombre de côtés 

 et inscrits dans le même cercle , celui de périmètre maximum est régulier. 



Soit p le périmètre maximum : si deux côtés consécutifs n'étaient 

 pas égaux, leur point commun ne serait pas le milieu de l'arc total 

 souiendu par ces deux côtés; il existerait donc un autre polygone 

 inscrit, dont un sommet serait le milieu de l'arc total proposé et dont 

 par suite le contour serait plus grand que p (n° 13) ; celui-ci , parmi 

 tous les périmètres inscrits et du même nombre de côtés, ne serait 

 donc pas un maximum; contrairement à l'hypothèse. Donc deux 

 côtés consécutifs quelconques et par suite tous les côtés de p sont 

 égaux entre eux; donc aussi tous les angles du polygone inscrit, de 

 périmètre/? maximum, sont égaux entre eux; donc ce polygone est 

 régulier. 



15. RÉCIPROQUE. De tous les polygones de n côtés, isopérimètres et 

 inscrits dans des cercles différents , le régulier est celui pour lequel la cir- 

 conférence circonscrite est un minimum., 



Soit^ le périmètre commun à deux polygones , dont un seul régu- 

 lier ; soit r le rayon du cercle circonscrit à celui-ci et / le rayon du 

 cercle circonscrit à l'autre; soit enfin p le périmèlre du polygone 

 régulier de n côtés inscrit dans ce dernier cercle : il est clair qu'on 

 aura simultanément p <i p' et p : p' \: r : r'; donc r <; »•' et 2îr r < 

 'ÎTT r. Ce qu'il fallait démontrer. 



16. Théorème. De toutes les lignes brisées, formées chacune par troi» 

 tangentes, dont deux aux extrémités d'un arc tracé, la plus courte a son 

 troisième contact au milieu de l'arc proposé. 



Soient a etb les longueurs que les deux tangentes, aux extrémités 

 de l'arc proposé, interceptent sur deux troisièmes tangentes, a tou- 

 chant l'arc au milieu : 2a et '2b seront donc deux lignes brisées 

 lirconscrites. Or, menant des extrémités de fe des perpendiculaires sur 

 a, on verra, par deux couples de triangles rectangles semblables, 

 que a < Z) et que 2a < 26. Ce qu'il fallait démontrer. 



Corollaire I. De tous les triangles de même angle au sommet et 

 circonscrits au même cercle, le triangle isocèle est celui de moindre 

 base et de moindre périmètre. 



II. Lorsque le cercle est exinscrit à une suite de triangles de même 

 angle au sommet, tous ces triangles sont isopérimètres; mais celui de 

 moindre base est isocèle. 



III. Parmi tous les triangles , de même hauteur et de même angle 

 au somuicl, le triangle isocèle est celui de base et de contour mini- 

 mums. 



IV. On démonti'erait de même que, de toutes les droites passant par 



