J. N. Noël. — Propoaitions de Géotw'trie appliquée. 231 



nn point de l'intérieur d'un angle tracé et terminées à ses deux côtés la 

 plus courte en retranche un triangle isocèle. 



Comme. cette droite , perpendiculaire à la bissectrice de l'angle, est 

 d'autant plus petite que l'angle est plus petit lui-même; on voit que 

 si un nœud se trouve dans un triangle d'ébène , ayant partout la même 

 épaisseur, on veut scier ce triangle suivant la plus petite droite possible 

 passant par ce nœud, la section devra être la base du triangle isocèle 

 dont le sommet est celui du plus petit des trois angles du triangle 

 d'ébène. 



47. ThiéokÈME. Parmi tous les poltjgones de chacun n côtés et circon- 

 scrits à un même cercle , celui de moindre contour est régulier. 



Soit p le périmètre minimum circonscrit : d'après le précédent 

 théorème (n° 16), on verra que tous les côtés du minimum p doivent 

 toucher le cercle au milieu de chacun ; donc le minimum p est le 

 contour d'un polygone régulier de n côtés. 



48. RÉCIPROQUE. De tous les polygones réguliers isopérimètres, de 

 chacun n côtés et circonscrits à des cercles différents, le régulier est celui 

 pour lequel la circonférence inscrite est un maximum (Démonstration 

 analogue à celle du n° 45). 



49. Théorème. Parmi tous les polygones réguliers, de même apothème 

 a , celui du plus grand nombre de côtés a le moindre périmètre. 



D'abord tous ces polygones sont circonscrits au cercle dont a est le 

 rayon. Soient C et C les contours de deux polygones réguliers cir- 

 conscrits : si nous supposons que le premier ait plus de côtés que le 

 second , il est clair que son angle au centre , son côté et son rayon , 

 sont respectivement moindres que l'angle au centre, le côté et le 

 rayon du second ; donc le contour C est plus près de la circonférence 

 2^a que le contour C, vu d'ailleurs qu'il a plus de points communs 

 avec elle : il en diffère donc moins que C et l'on a C — Ssra < C— 

 ^va ; donc C< C. 



20. RÉCIPROQUE. De deux polygones réguliers isopérimètres , celui du 

 plus grand nombre de côtés a aussi le plus grand apothème. 



Soit/) le périmètre commun; soient a et a' les apothèmes des deux 

 polygones réguliers dont le premier a le plus de côtés : si nous appe- 

 lons/ le périmètre d'un troisième polygone régulier, ayant autant de 

 côtés que le premier et même apothème a' que le second , dont/)' est 

 le périmètre, il suit du théorème précédent (n° 49) qu'on aura /)'<; p. 

 Mais/) : p':; a : a'-, donc puisque p^p', on a aussi «>o' et 2;ra> 



SCHOLIE I. De deux polygones réguliers, de même rayon r, celui qui a 

 le plus grand nombre de côtés a aussi le phis grand périmètre • commti 

 approchant plus que l'autre de la circonférence circonscrite. 



