2»î-4 J, J\. ]\oEL. — Propositions de^ (jéomiirie appliqiu'e. 



diagonale au sommet le plus éloigné du pentagone restant ; d'où 

 l'aire H = ad. 



IX. Avec un octogone symétrique on peut faire un hexagone symé- 

 trique et un parallélogramme , en transposant les parties. 



X. On peut de même , avec cinq parallélogrammes ou cinq carrés 

 égaux , mis en croia;, faire un parallélogramme ou un carré équivalent. 

 (Les sommets de la croix sont ceux d'un octogone symétrique équiva- 

 lent aux 7 cinquièmes du parallélogramme). Réciproquement , tout 

 parallélogramme ou tout carré peut se diviser en parties formant cinq 

 parallélogrammes ou cinq carrés égaux. 



XI. Une simple transposition de partiesdonne un carré équivalent, 

 pourvu que la base soit moitié de la hauteur ou égale à elle dans le 

 triangle ou le parallélogramme et le losange , que la hauteur vaille la 

 demi-somme des bases dans le trapèze et que , dans le quadrilatère , 

 une diagonale soit la demi-somme de ses distances aux deux sommets 

 opposés. 



XII. Tout polygone régulier peut se diviser, de plusieurs manières, 

 en parties dont le rapprochement forme un rectangle équivalent , et 

 celui-ci peut se changer en un autre , de hauteur double ou triple , et 

 même en un carré , si le rapport de ses deux dimensions est un carré 

 numérique. Quand ce rapport est 6|/5 , il en résulte un hexagone 



. régulier. 



XIII. Avec sept hexagones réguliers égaux , on peut en composer 

 un seul , par simple transposition ; et réciproquement, on peut di- 

 viser tout hexagone régulier en parties dont les rapprochements don- 

 nent sept hexagones réguliers égaux. 



XIV. SoilPun prisme oi/iç7ie (pouvant être un cylindre); soilisabase, 

 h sa hauteur, a une arête latérale et b' la section plane perpendiculaire à 

 cette arête : les deux parties de P, qui en résultent, peuvent se réunir 

 en un prisme droit P'. équivalent à P, de base b' et de hauteur a , ayant 

 une surface totale moindre que celle de P et moindre somme d'arêtes. 



CoROLiAiBE. II est clair que les deux angles [ah) et (bb') sont égaux et 

 qu'ainsi h = a cos (ah) elb' =■ b cos (ah) : donc bh = ab' . Mais on sait 

 que P' =: ab' = bh ; donc aussi P = bh. Tel est donc un moyen , égale- 

 ment très-simple , de parvenir aux expressions des volumes de tout 

 prisme et de tout cylindre. 



ScHouE. Si P est un paralléiipipède oblique , P' sera un parallélipipède 

 droit équivalent , et celui-ci peut se changer, par simple transposition , 

 en un parallélipipède rectangle P", de surface totale moindre que celle 

 de P' et de moindre somme d'arêtes. De sorte que la surface totale et la 

 somme des douze arêtes vont en ditninuant, en passant rfe P à son équiva- 

 lent P', de P' à son équivalent P'' et même de P" au cube équivalent ; ce 

 qui est remarquable. 



