J. N. Noël. — Propositions de Gi'onu'trœ appUqvte. 237 



d'un triangle , ayant ponr base une diagonale de 0, et ce trianpie 

 serait moindre que le triangle isocèle isopérimètrerde môme base- 

 il existerait donc un quadrilatère, de contour C et plus grand que O- 

 chose absurde. Donc deux côtés consécutifs quelconques et par con- 

 séquent les quatre côtés du quadrilatère maximum sont égaux 

 sntre eux : déjà ses angles sont droits , puisque le carré est plus 

 grand que tout losange isopérimètre; donc Q est un carré. 



III. Réciproquement, parmi toutes les figures planes équivalentes , 

 de deux, trois ou quatre côtes , le carré a le moindre contour. Ce carré 

 serait le plus grand , s'il était isopérimètre avec chacune : donc pour 

 lui devenir équivalent, son périmètre doit diminuer. (Ce théorème 

 est appliqué dans le premier exemple ci-dessus, où pour avoir le côté 

 du carré, il faut extraire la racine carrée de la valeur numérique de 

 la figure plane proposée). 



IV. Bien que le contour du rectangle soit moindre que celui de 

 tout triangle , trapèze, parall<51ogramme et losange équivalent, et 

 réciproquement; il existe néanmoins un losange équivalent à un rec- 

 tangle donné et de contour moindre : c'est \Q\os,d,\]^Q ayant une diago- 

 nale commune avec le rectangle. 



V. Parmi tous les quadrilatères formés avec quatre côtés donnés , dont 

 deux opposés sont égaux, le plus grand est le trapèze isocèle. 



Soient e et i les deux côtés opposés inégaux et c la valeur de chacun 

 des deux côtés égaux et opposés. Supposons a > i; soient x et y les 

 prolongements des côtés c jusqu'à leur rencontre ; soient t et t' les 

 deux triangles résultants , ayant un angle commun compris par les 

 côtés X et y, dans le premier t et par les côtés c -<- a^ , c -+- y, dans le 

 second t'. On a 



t' : t\\ (c-f-j:) {c'\-y) : xy. 

 Soit Q le quadrilatère formé avec les quatre côtés donnés : il est clair 

 que Q = <' — < et qu'ainsi la proportion précédente foui-nit 



Q : t = c [c -}- X -{- yl : j-y. 



D'ailleurs on sait que pour l'aire t en fonction de ses côtés b , xet y 

 on a 



i6t^ = Axhf — {x" -\-y^— lf-)\ 

 Eliminant i et posant x = n -j- r , ?/ = n — ^^^ on trouve 



Q = i (c- -t- 2cn)\ / 4 ^ ^ ■ \ . 



Vf [u — V-)- ) 



On voit que le maximum de répond à » = 0, c'est-à-dire à x = y, 

 d'où c -f- .r = c -4- y. Les deux triangles t et /' sont donc alors iso- 

 cèles; i est parallèle à o , et par suite le maximum Q est un trapèze 

 isocèle. Ce qu'il fallait démontrer. 



D'ailleurs soient A et B les deux angles du qimdrilatcrc Q, adjacents nu 



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