"•2%S J. N. Noël. — Propositions de Géométrie appliquée. 



€6lc a : ce quadrilatère étant diicoraposc en deu\ trinn{];les reclan(>les , 

 dont les hypoténuses sont les ctUés c, et en un trapèze rectangle, ou 

 trouve aisément, pour l'aire Q, 



2 Q = ac (sin A -+■ sin B) — c^ sin (A -|- P.). 

 Les deux angles A et P» étant variables, soit posé A = r-f-xet [i=iv — x: 

 il est clair qu'on aura 



2 Q = ^ac sin r cos x — c^sin 2i;. 

 Si donc i" a la valeur qui convient au maximum de Q, on voit que ce 

 maximum aura lieu dès que cos x aura sa plus grande valeur 1 , c'est-à- 

 dire dès qu'on aura a; >= ; d'où \ = Vt = v; par suite le quadrilatère 

 maximum est le trapèze isocèle. On a, en effet alors 

 Q=:= [a — c cosii) c sinr = | (a -|- a — 2c cost;) c sin r = | [a-\-b]c sinv. 



\l. Le polygone régulier est plus grand que tout polygone isopérimèlre, 

 d'un même nombre n de côtés. 



Soit P le polygone raaxiraiim parmi tons ceux de chacun n côtés et 

 de contour invariable C : en vertu de ce qu'on a vu (II) , P doit être 

 équilaiérnl, et d'après ce qu'on vient de démontrer (V), P doit être 

 équianglc : donc le polygone maximum P«st régulier. 



VII. Réciproquement , parmi les polygones équivalents, d'un même 

 nombre n de côtés , le polygone régulier P a le moindre périmètre. Car si 

 le périmètre C était le même pour tous les polygones de n côtés, le 

 régulier P serait le plus grand; et P doit diminuer, pour devenir 

 équivalent à chacun d'eux. Or, cela exige que le contour de P diminue; 

 donc , etc. 



VIII. De deux polygones réguliers de même apothème, le plus petit 

 est celui qui a le plus de côtés • car il a le moin.lre périmètre (n" 19). 



IX. Réciproquement , Si deux pohjgones réquliers sont équivalents^ 

 celui de plus de côtés a le moindre contour et leplus grand apolhèmc.CtlV si 

 l'apothème était le même, le polygone de plus de côtés serait le plus 

 petit; cet apothème doit donc augmenter, etc. 



X. De deux polygones réguliers isopérimètres, celui qui a le plus de 

 côtés est le plus grand. Il serait le plus petit, si l'apothème était 

 le même ; il faut donc que son apothème augmente, non-seulement 

 jusqu'à ce que ce polygone régidier, de plus de côtés, soit équivalent 

 à l'autro, auquel cas son périmètre serait moindre que celui du second; 

 mais jusqu'à ce que les deux périmètres soient égaux. 



XI. Le cercle est plus grand que tout polygone régulier isopérimèlre , et 

 réciproquement. Car le cercle est le polygone régulier du plus grand 

 nombre de côtés. 



Plus généralement, une figure plane, mixte ou curviligne, pouvant 

 être regardée comme un polygone rectilignc , d'un nombre infini « 

 vde côtis, infiniment petits, et le polygone régulier du nombre infini 



