240 J. N. ]\oEL. — Propositions de Géométrie appliquée. 



XVf. C'est aussi par une équation du second degré que l'on résout le 

 problème des alvéoles des abeilles et que l'on reconnaît l'instinct admi- 

 rable de ces insectes utiles, qui leur fait économiser la cire , de la ma- 

 nière la plus avantageuse. 



XVII. Parmi tous les corps géométriques de même surface, la sphère esï 

 la plus grande, et réciproquement. Cesdeuxpropriétés peuvent recevoir 

 d'utiles applications : elles sont démontré es^, aussi bien que XV et XVI, 

 dans la géométrie, 2° édition. 



XVIII. On démontre que, 1° le plus grand de tous les quadrilatères, 

 ayant les mêmes diagonales respectives D et D', est celui où l'aup^Ie (DD') 

 est droit; 2" il existe une infinité de ces quadrilatères maximums, dont 

 un seul losange , ayant le périmètre minimum; 3° le carré est le plus 

 grand de tous les quadrilatères de même somme 2m des diagonales, et 

 réciproquement ; 4" le plus petit polyg one régulier, inscrit dans un 

 polygone régwlier semblable, joint les milieux des côtés de cdui-ci ; 

 0° le plus grand polygone régulier, circonscrit à un polygone régulier 

 semblable , a chaque côté perpendiculaire au rayon adjacent ; 6" le plus 

 grand de tous les quadrilatères, formés avec trois côtés a, b, c, 

 donnés numériquement , est inscrit dans le cercle dont le diamètre est 

 le quatrième côté inconnu x, et celui-ci se calcule par l'équation ho- 



mogène 



x'i — (a' -f b- -{-C-) X — ^abc = 0, 

 facile à résoudre, lorsque deux côtés sont donnés égaux. 



26. Comparaison des figdkes. C'est par le mesurage que l'on facilite la 

 comparaison etla transformation des figures; mais le mesurage n'est pas 

 toujours nécessaire, comme on le voit par ce qui précède. Voici une 

 suite de propositions , plus ou moins remarquables, à établir sur la com- 

 paraison et la transformation des figures : 



I. Si l'on a une suite de quadrilatères, dont chacun ait pour sommets 

 les milieux des côtés de celui qui le précède immédiatement; 1° leurs 

 aires deviennent de deux en deux fois plus petites ; 2" si le premier est 

 quadrilatère quelconque, convexe ou concave, tous les autres seront des 

 parallélogrammes; â" si le premier est un rectangle, le second sera un 

 losange, le troisième un rectangle semblable au premier, le quatrième 

 un losange semblable au second , et ainsi alternativement; 4" si le pre- 

 mier est un losange, le second sera un rectangle, le troisième un 

 losange semblable au premier, le quatrième un rectangle semblable au 

 second, et ainsi alternativement; 5" enfin , toutes les figures sont des 

 carrés, si la première en est un. 



II. Lorsqu'une suite de quadrilatères est formée en menant par les 

 sommets de chacun des perpendiculaires à ses diagonales adjacentes ; 

 I"sile premier est un quadrilatère quelconque, convexe ou concave , 



