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sommet le point commun à ces trois faces, est la dix -huitième parlie 

 tlu prisme. (Tlicorème analogue pour le paralléiipipède). 



XI. Dans tout prisme régulier hexagonal, les centres des huit faces 

 sont les sommets d'un dodécaèdre symélrirfue iWAcnV, quart du prisme 

 et terminé par douze triangles réguliers égaux , quand la hauteur du 

 prisme est double de l'apothème de la base. 



XII. Dans tout tétraèdre, les milieux des six côtés sont les sommets 

 d'un octaèdre sous double , lequel est régulier avec le tétraèdre. 



Xiri, Dans tout tétraèdre, les centres de gravité des quatre faces sont 

 les sommets du tétraèdre inversement semblable et 27 fois plus petit , 

 mais régulier avec lui. On a donc ainsi une suite décroissante de tétraè- 

 dres, alternativement semblables, inversement et directement , ayant 

 tous le même centre de gravité , vers lequel ils tendent sans cesse. 



XIV- Dans toute pyramide régulière , les centres de p^ravité des faces 

 sont les sommets d'une seconde pyramide régulière , inversement sem- 

 blable à la première et équivalente au vingt-septième de cette première. 

 Ou a donc ainsi une suite décroissante de pyramides régulières , alter- 

 nativement semblables, inversement et directement, ayant toutes le 

 même centre de gravité et devenant de 27 fois en 27 fois plus petites. 



XV. Construisant un prisme triangulaire sur la plus petite face d'un 

 tétraèdre quelconque , prise pour base , et sur le tiers de l'arètc latérale 

 adjacente; ce prisme vaudra le tétraèdre et aura urre surface totale 

 moindre. 



XVI. Sur le Irièdre opposéàfa plus grande face latérale de tout prisme 

 triangulaire, on jjcut construire le parallélipidède équivalent, mais de 

 surface totale plus petite. 



XVfl. Soit I* le volume, S la surface et 12a la somme des douze arêtes, 

 dans tout paralléiipipède; l'une quelconque de ces trois choses étant 

 donnée invariable , il y a maximum ou minimum absolu pour chacune 

 des deux autres, quand P est un cube. (Théorèmes analogues , pour 

 le tétraèdre rectangle.) 



Ces théorèmes reçoivent plusieurs applications utiles ; et par exemple, 

 on peut construire le cofFie de fer, ayant un mètre cube de capacité, dont 

 le poids et le prix soient les moindres possible, quand le paroi a partout 

 2 millimètres d'épaisseur. 



XVIII. L'octaèdre compris sous un hexagone régulier, trois carrés et 

 quatre triangles équilatéraux , tontes ces figures ayant le même cùté , 

 est décuple du tétraèdre régulier fait sur ce côté. 



XIX. Connaissant numériquement le rayon de la base et le côté latéral 

 d'un cylindre ou d'un cône droit, on peut calculer le rayon de la sphère 

 dont la surfacî vaut celle du cylindre ou du cône, et vérifier que son 

 volume est plus grand que celui de chacun de ces derniers. 



