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244 J. N. Noël. — Proposilioyis de Géométrie apjA'uiuée. 



bases siipérieiircs jusqu'à leur intersection : la base de T et la droite , 

 prise égale et parallèle à celle qui joint l'intersection au sommet de T, 

 sont les deux côtés contigus du parallélogramme cherché P, valant 

 Q -f R. C'est ce qu'on démontre aisément. 



Il est clair que O et Pi pourraient être deux rectangles ou deux lo- 

 sanges : s'ils sont deux carrés, T étant rectangle au sommet, P sera 

 le carré fait sur l'hypoténuse de T , et ce carré P vaudra la somme des 

 carrés Q et R, faits sur les deux autres côtés. 



Tel est le moyen le plus simple de parvenir à la relation des trois 

 carrés, faits sur les côtés du triangle rectangle. Cette relation impor- 

 tante et les expressions des aires des carrés fournissent toutes les re - 

 lations entre les droites numériques dans les triangles , rectangles 

 ou non. 



II. Si l'on veut construire le parallélogramme P équiralent à la diffé- 

 rence des deux parallélogrammes donnés ef R , il sera pluS exact 

 d'opérer sur leurs dimensions. Désignant donc par o et Z>, c et </, le? 

 ditïiensions connues de et de R, celles inconnues dePétant désignées 

 par a; et y, puis sous-entendantles unitésset w, la relation P=Q—Pi 

 devient xy = ab — cd = a{b — cd '. a)=a{b — z) , en posant z = 

 cd '. a OUa : c '.: d '. z. 



On sait construire la droite z , quatrième proportionnelle aux trois 

 droites données a , c,d, (car il faut bien remarquer que le diviseur u 

 disparaît et que les termes de la proportion numérique a : c :: d : z 

 sont devenus des droites réelles); on sait aussi construire la droite 

 h^= b — 2 ; d'où ocy = ah. 



Ainsi il existe une infinité de parallélogrammes P équivalents à 

 Q — R ou à ah. Mais si Ton se donne la base x de P, sa hauteur y sera 

 déterminée par x '. a ;: A : i/ et P pourra se construire, avec une 

 forme entièrement arbitraire ; P jiourra donc être un rectangle , ce qui 

 est plus simple, ou être semblable à un paralléloiyramme donné, Q par 

 exemple. Dans ce dernier cas , on aura d'abord x : a :: y : b , et x 

 ne sera plus arbitraire. 



III. On sait tracer le triangle équivalent à tout polygone rectiligne 

 tracé ; on sait aussi, par la moyenne proportionnelle entre les deux 

 dimensions du triangle , décrire le carré équivalent au polygone. On 



peut donc , avec le compas et la règle , trouver le cùlé du carré équiva- 

 lent à la somme nu à la différence de deux figures planes rcclilignes quel- 

 conques. Cela revient, en effet, à construire le triangle rectangle 

 dont deux côtés soient ceux des carrés équivalents aux deux figures 

 données. 



IV. Et puisque les figures semblables sont représentées par les 

 carrés faits sur leurs côtés homologues, on voit que, deux figures 



