J. N. Noël. — Propositions de Géométrie appliquée. 247 



III. Le multiple demandé peut être une figure dissemblable à ia 

 proposée , mais d'un même nombre de côtés. Ainsi pour m fois l'aire 

 d'un triangle, d'un paralléîogramrae ou d'un trapèze, il suffît de pro- 

 longer la base de »i — 1 fois sa longueur, et une diagonale de w — 1 

 fois , pour le quadrilatère. Quant au cercle de rayon r, le rayon x du 

 cercle m fois plus grand est donné par .v = r[/ m. 



IV. Pour démontrer que les droites, joignant les sommets A , B , C, 

 d'an triangle aux milieux M , N , P c?e« côtés opposés , se coupent en un 

 7ncme point ; il suffit de prolonger , hors du triangle , les droites AM 

 et BN (se coupant en 0) des longueurs MD = MO et NE = KO : on 

 verra aisément que CP passe parO. Prolongeant aussi CP de PF=PO, 

 on vena que 50M = AM , SON == BN et 50P = CP : c'est là un 

 moyen de diinser en trois parties égales toute droite AM, tracée sur le 

 papier. On reconnaît de plus , que les six points A , B , C , D , E, F, 

 sont les sommets et le centre d'un hexagone symétrique , double du 

 triangle ABC et de contour égal aux A tiers de la somme des trois droites 

 AM , BN et CP, Le triangle et l'hexagone sont réguliers ensemble. 



Connaissant les trois côtés, on peut aisément construire ou calculer 

 les trois droites AM , BN et CP. Mais réciproquement , ces trois 

 droites étant données , il en résulte les côtés et le triangle. On a , en effet, 

 en posant AM = m , BN = w et CP =p. 



Am' = 2AB^ + 2AC=^ — BC-, 

 4«- = 2AB2 4- 2BC^ — AC-, 

 4p- = 2AC^ + 2BC^ — AB^; 



9 AB- = 4 (2m- -\- 2m^ — p'-) , 

 9AC^ = 4 (2w^ + 2p- — «2) ^ 

 9BC^^ = 4 (2n2 + 2p- — «t-;; 



5 (AB'- + AC^ + BC^) = 4 {m' + n' + p'). 



Le point 0, centre de l'hexagone, est dit le centre de gravité et mieux 

 le centre des moyennes distances du triangle ABC ; parce que la distance 

 de à une droite ou à un plan quelconque est toujours le tiers de la 

 somme algébrique des distances de A , H et C 



Il est clair d'ailleurs que les trois droites AM, BN et CP divisent à 

 la fois le triangle en trois autres ou en trois quadrilatères, équivalents 

 entre eux , et l'hexagone en trois parallélogrammes équivalents. 



V. Si c/ , e , f, sont des droites qui joignent les sommets du triangle t 

 aux milieux des côtés opposés et que ces droites soient les côtés d'un 

 autre triangle t', on démontre aisément que t'=\t. Si donc d-{-e -{-f= 

 2» , on trouve 



9/- = 16 n (n — d) (n — e) [n — /). 



De plus , d étant la base de t' , son sommet se trouve en prolon- 

 geant, d'une longueur égale à la sienne , la droite qui joint les pieds 

 de et f. Il y a donc deux triangles /', de même base rf, et conséquem- 

 ment six triangles «', formant trois parallélogrammes différents, biea 

 que ceux-ci valent chacun ^f. 



