248 J. N. Noël. — Propositions de Géométrie appliquée. 



On aurait le triangle triple du proposé t et de même sommet , en 

 prolongeant la base de celui-ci et la droite qui joint le sommet au 

 milieu, chacune d'une longueur égale à la sienne. 



Enfin , si l'on construit le parallélogramme ABCD tel que le côté 

 AB=2c?, le côté BC = 2e et la diagonale AC= 2/"; les droites joignant 

 le point A aux milieux des côtés opposés BC et CD , interceptent, sur 

 la seconde diagonale BD , la base du triangle t , dont A est le sommet; 

 et de plus l'aire ABCD = Qt. 



Y. Si en suivant le contour d'un triangle t ou d'un quadrilatère q , 

 on prolonge chaque côté de n fois sa longueur, n étant entier ou frac- 

 tionnaire , il en résultera les sommets d'un second triangle t' ou d'un 

 second quadrilatère q', pour lesquels on aura 



t' = t-\-'3n (n -^l) tetq'=q-{- In [n -\- \) q. 



Ce qu'il faut bien remarquer, c'est que si teiq sont réguliers et de , 

 même côté c, t' ei q' sont aussi réguliers, mais de côtés inégaux x 

 et y. De plus , on trouve alors 



x'^ =2 c- -j- o?i [n -\- {) c- et y"- =^c- -{- 2» {n -\- {) à. 



Si donc c- est pris pour unité, ou plutôt s'il est sous-entendu , il est 

 clair que « = d , 2 , 5 , 4, 5 , ... , donne 



x= = 7,d9,57, 61,91, ..., et 2/^ = 5, 13, 23, 41, 61, etc. 



11 est donc facile de construire x et y. On peut supposer n fraction- 

 naire ; ce qui donnera plusieurs nombres premiers pour les numéra- 

 teurs de x'^ et de y\ 



VI. Soit H l'hexagone régulier de côté c : si en suivant le contour, on 

 prolonge chaque côté c de n fois sa longueur, on aura les sommets 

 d'un second hexagone régulier H', de côté x ; d'où il viendra simulta- 

 tancment 



H' = H + M (n + 1) H et a:^ = r -f n [n-{-\) c\ 



Pour ?i= 1,2, 3, 4, o 6, 7,..., le rapport H' : H ou ar- : r devient 

 5, 7, 13, 21, 31, 43, 37, 73, etc. Ou peut aussi prendre n fraction- 

 naire. 



La construction de l'hexagone régulier étant très-simple et très- 

 précise, aussi bien que celles du carré et du triangle équilatéral , on 

 voit comment à l'aide de la règle et du compas , on peut multiplier, 

 par des nombres donnés, tout carré et par conséquent l'aire plane 

 que ce carré représente ; d'où résulte aussi la multiplication des vo- 

 lumes (prismes ou cylindres, pyramides ou cônes). 



De la Division des figures. 



28. La division des figures consiste à les partager chacune en par- 

 ties équivalentes entre elles ou proportionnelles , soit à des droites 

 données, soit à des nombres connus. 



