2S2 J. N. INOEL. — Propositions de Géométrie appliquée. 



slilue, autant que possible ,aux procédés graphiques : on ne mesure , 

 sur le terrain ou sur le papier, que les données, strictement nécessaires 

 et suflîsantes, puis l'on détermine les inconnues par des équations. On 

 tâche alors, par un chois convenable dans les éliminations, que l'équa- 

 tion finale soit du dejré le moins élevé possible. 



Par exemple , connaissant numériquement Vaire a d'un triangle , ainsi 

 que les rayons h et c des cercles inscrit et circonscrit, calculer les Iroi^ 

 côtés X, y, Z. 



D'après les diverses expressions de l'aire a, on a 



b(x -{- y -\- z) = 2a , xyz = 4ac et 



[x-\-y -t-z) {x-{-y — z){s-\-z — y){y-{- z — x)= 16a-. 



Posant bd = a, ces trois équations symétriques deviennent 



X -\- y -\- z ^= 1d, ayz ^= hhcà et 



xy -\- xz -\-ijz ^= y- -\- dr -\- i bc. 



Or, d'après la composition des cocflîcients, on voit que les inconnues 



ar, y, z sont racines delà même équation faiale 



v' — 2àxr + (6^ + d- 4- -46c) v — hhcà=^. 

 Si le triangle existe, les trois racines de cetteéqualion seront des nombres 

 positifs (vu d'ailleurs qu'il y a trois variations) ; mais on ne saurait les 

 obtenir, sous formes réelles et finies, que pour des valeurs particulières 

 de a, b, c. Si donc a = 8-4, è = 4 et c = 8, 12o, la méthode des 

 diviseurs commensurables donne x = ]^, y = lA et z = \Z. 



L'équation générale en v se décompose en facteurs inconnus, si rf = 6 

 -l- 2c : il vient alors v = j:= 2c. Cela revient à établir entre les racines 

 X/ y, z, la relation a- = y" + -"• 



Il y aurait encore ahaissement au second degré, si l'on devait avoir 

 z = y ou z^2y, etc. On pourrait calculer l'aire a, si l'on se donnait b = 

 ;<,8c = 63et?/= 1-4. 



On peut aussi calculer le troisième côté X du triangledont on connaît nu- 

 mériquement les deux côtés a et b, arec le rayon r du cercle inscrit. Posant 

 o -1- i = >n et a — b = n, l'équation finale sera 



x' — mx' — (w^ - — Ar) x -|- m («- -j- -4/-) = 0. 

 Si o = 61 , è = 60 et r = 5 . on aura x = Il , d'où a^ = b"- -\- x'. 

 Les deux autres valeurs de x sont irrationnelles et absolument insigni- 

 fiantes ; de sorte qu'alors le triangle est unique et rectangle. 



XI. Un verger quadrangulaire , clos d'un mur , doit se diviser en deux 

 portions équivalentes par un autre mur, de même hauteur que le premier; 

 quelle direction doit-on donner à ce mur de division, pour que sa longueur 

 et par suite le prix de sa construction soient les moindres possible ? 



Comme cette longueur , droite minimum , sera d'autant plus petite 



