J. N. Noël. — Propositions de Géométrie appliquée. 257 



le volume de la sphère est, sous trois points de vue différents, un 

 polyèdre réj^ulier composé d'une infinité de faces, égales et infiniment 

 petites , ces faces étant ou des triangles réguliers , réunis 6 à 6 autour 

 d'un même sommet, ou des carrés réunis 4 à 4, ou enfin des hexa- 

 gones réguliers réunis 5 à 5. 



C'est ce qu'on démontre aisément par les procédés de Yanahjse in- 

 déterminée. Et comme le polygone sphérique , dont les côtés sont infi- 

 niment petits, n'est que la portion du plan tangent, autour du con- 

 tact, on voit non seulement que le volume de la sphère a pour mesure 

 le produit des mesures de sa surface S et du tiers de son rayon r; mais 

 de plus , que si désigne l'onglet dont le fuseau F est la base , on a 

 = i- F r. Et de même , pour le secteur et la pyramide sphériques. 

 On voit aussi que deux sphères sont toujours semblables, comme po- 

 lyèdres réguliers d'un même nombre infini de faces semblables. 



X. Une citerne est formée d'un cylindre droit surmonté d'une voûte 

 hémisphérique, percée d'un trou circulaire , dont le centre et ceux des 

 bases du cylindre sont sur une même verticale. L'impossibilité de 

 mesurer directement les dimensions intérieures fait employer une 

 longue perche, par laquelle ou s'assure que le centre de l'ouverture 

 est verticalement à 8 mètres au-dessus du fond , à l^o du niveau de 

 l'eau et à lO-" de la circonférence de la base inférieure. Peut-on, d'a- 

 près cela , calculer combien il y a d'hectolitres d'eau dans la citerne et 

 combien a dû coûter sa construction, payée à raison de8 fr. par mètre 

 carré de surface intérieure, celle du fond exceptée? 



VI. Si dans une citerne , de même forme que la précédente , on ne 

 pouvait prendre aucune mesure, mais que l'on sût, par le mémoire 

 de l'entrepreneur, que sa capacité est 12 tt mètres cubes, tandis que 

 la surface , celle du fond exceptée, vaut 14 tt mètres carrés; le rayon 

 j: de chaque base serait donné par l'équalion 



j:3 _ 21 a; -<- 56 = 0. 

 Mais si la capacité étant toujours 12 tt mètres cubes , on voulait faire 

 construire la citerne, de telle sorte que la surface intérieure S/u v , 

 celle du fond exceptée , coûtât le moins possible , le mètre carré étant 

 payé à raison de 8 francs ; il est clair que r désignant le rayon de 

 chaque base, on aurait à calculer , par la méthode des dérivées , le mi- 

 nimum de m dans 



j:^ — onix -L 50 = 0. 

 XII. Dans le caveau d'une église , on a trouvé un cercueil de plomb , 

 en forme de tronc de pyramide à basesparallèles ABCDE et A'B'C'D'E'. 

 La plus grande est le rectangle ABDE joint au triangle isocèle BCD. 

 La face AA'E'E est un trapèze isocèle, perpendiculaire aux deux 

 bases et dont la hauteur vaut 2'"40 , d'après le mesurage direct. De 



