2u « J.-13. Brasseur. — Lirjncs de courbure de qnehives siirfacrs , etc. 



Difféientiant partiellement celle équation, d'abord par rapport à x et 

 puis par rapport à y, il vient 



ar+fc*=0... (2) ' 



as-j-i< = 0...(3) 



en substituant dans l'équation (A) les valeurs de r et de / tirées de 

 (!2 et 3) et réduisant d'après (1), tous les termes du résultat seront 

 divisibles par s , et l'on aura 



^£a{b+ g) +^[a (a + p) - fc (& + ?) ] - MH"?) = 0. 



Cette (-quation devient, en faisant a-{-p=vi,ù-\-q = n, 



dif dyl \ 



— , a « + -— am — hn \ — o »« = 0: 



en la résolvant par rapport à -f^on trouve que la quantité sous le ra- 



ax 



dical est un carré parfait , et l'on a 



dij bn — am ± {am -{- in) 

 dx~ 2 an "■ ^ ' 



Prenant le signe +, on aura pour l'équation de l'une des deux lignes 

 de courbure -. ady=bdx ^ dont l'intégrale est , en désignant par « 

 une constante arbitraire, 



ay — hx = ct. . . (4). 



Or, cette équation représente un plan vertical parallèle à la droite 

 j- = aa, y= Z»z, et par suite parallèle aux génératrices du cylindre; 

 donc l'une des lignes de courbure n'est autre chose que l'intersection 

 de ce plan avec la surface proposée et par suite une génératrice. 



En prenant le signe — dans (B), l'équation de l'autre ligne de cour- 

 bure sera : 



ndy -}- mdx = , 



qui devient en remettant pour m et n leurs valeurs et en remplaçant 

 pdx -\- qdy par sa valeur dz 



adx -\- bdy -{- dz =0 



dont l'intégrale est', en désignant par fi une constante arbitraire, 



ax -\-by -\- z:= fi. . . (S) 



Cette équation étant celle d'un plan perpendiculaire à la droite x=az, 

 y=bz et par suite perpendiculaire aux génératrices du cylindre, il s'en- 

 suit que la seconde ligne de courbure, qui passe par chaque point d'une 



