J.-B. Brasseur. — Lignes de courbure de quelques surfaces , etc. 265 



surface cylindrique, est également plane et qu'elle est l'intersection de 

 ce plan avec la surface cylindrique , c'est-à-dire , une section droite 

 du cylindre. 



Les constantes arbitraires «, /s, qui entrent dans les équations 

 (4et5), seront déterminées par des valeurs particulières de x,y,z-, 

 c'est-à-dire en assignant sur la surface un point par lequel on veut 

 faire passer les deux lignes de courbure. 



IL 



Lignes de courbure des surfaces coniques. 



L'équation différentielle partielle de toutesles surfaces coniques est, 

 en supposant le sommet à l'origine , (M. p. 10} , 



Z=px-{-qij. .. (l). 



Différenliant deux fois partiellement celte équation on a : 



a7r+î/s = 0. ..(2). 



xs-^yt^O. . .(3). 

 Substituant les valeurs de r et de < fournies par ces deux équations 

 dans l'équation générale des lignes de courbure, tous les termes 

 seront divisibles par «, et si l'on réduit au moyen de l'équation (4), 

 elle pourra être mise sous la forme. 



et devient en faisant s-^pz=:m ,y-\-qz=:^n 

 dy^ du I \ 



dy 

 En résolvant celte équation par rapport à -^ , la quantité sous le ra- 



(tJC 



dical sera un carré parfait et l'on trouve 



dij_ - mx-\-ny±{mx -f- ny) 

 d^~ ^^ • • • ^ ^' 



en prenant le signe-f-, l'équation de la première ligne de courbure sera 



a:dy=^ydx, dont l'intégrale esty = ux. . . (4) 

 M étant une constante arbitraire. 



Cette équation étant celle d'un plan passant par l'origine, c'est-à-dire, 

 par le sommet du cône , exprime que la première ligne de courbure est 

 plane et comme elle ne peut être que l'intersection de ce plan avec la 

 surface conique, il s'ensuit que c'est une génératrice du cône. 



