2C6 J.-B. Brasseur. — Lignes de courbure de quelques siir/'uces , etc. 

 Avec le signe — l'équation (B) donne pour la seconde ligne de 



courbure 



-f= , ou bien, / -\ ."-^ = 0; 



dx n dx y -\- qz 



réduisant au même dénominateur et observant que dz == pdx -\- qdy 



on a 



xdx -\- ydy -j- zdz = , 



dont l'intégrale est , en désignant par /3 une constante arbitraire 



^' + y' + «' = /3 . . . (5). 



Celte équation, étant celle d'une sphère dont le centreest au sommet 

 du cône , il suit que la seconde ligne de courbure est l'intersection 

 de la surface conique avec la surface d'une sphère dont le centre 

 coïncide avec le sommet du cône. 



III. 



Lignes de courbure des surfaces de révolution. 



L'équation différentielle partielle de toutes les surfaces de révolu- 

 tion est, en faisant coïncider l'axe de révolution avec celui des z. 

 (M. p. IS) , 



py — qx=0 . . . (1) 



Différentiant partiellement cette équation d'abord par rapport à x, 

 puis par rapport à y , on a : 



ry — q — sx = . . . (2) 



tx — p — sy = . . . (3) 



Substituant dans l'équation générale (A) des lignes de courbure 



pour r et t leurs valeurs tirées de (2 et 3) et réduisant au moyen de(l), 



on trouve que tous les termes de l'équation (A) sont divisibles par le 



facteur (s — — j ou par son égal (* — ^) et que l'équation des 



lignes de courbure des surfaces de révolution peut être mise sous 

 la forme : 



— +—{ ^—1 = 0, ou bien 



dx^ ~ dx\ yx J 



dx^ ^ dx\y xj 



Sans résoudre cette équation on reconnaît que les valeurs des deux 

 du 



racines de -f sont respectivement : 

 dx 



