-B. Brasseur. — Lignes de courbure de quelques surfaces , etc. 2C7 



dont les intégrales sont \y* -\~ x^= » 



en désignant par a et ) 



/3 deux constantes ar- j 



bitraires f y = /ioc 



est l'équation d'un cylindre de révolution autour 

 de l'axe des z ; donc l'une des lignes de courbure est l'intersection de 

 ce cylindre avec la surface de révolution proposée , intersection qui 

 ne peut être qu'un parallèle ; vu que deux surfaces de révolution qui 

 ont même axe ne sauraient se couper que dans un parallèle. 



L'autre ligne de courbure a pour équation y=^p,x, laquelle est 

 celle d'un plan vertical passant par l'axe des z, c'est-à-dire, par l'axe 

 de révolution; donc l'autre ligne de courbure est l'intersection de ce 

 plan avec la surface de révolution et par suite un méridien. 



IV. 



Lignes de courbure des surfaces des canaux et des surfaces dont la ligne 

 de plus grande pente est une droite d'inclinaison constante. 



L'équation différentielle partielle qui exprime une propriété com- 

 mune à toutes les surfaces engendrées par le mouvement d'une sphère 

 constante de rayon et dont le cenire suit une courbe arbitrairement 

 tracée dans le plan des xy, est en désignant par a le rayon de la 

 sphère, (M. p. 32) 



z^l -f y-{-y')_o% ou bien z'k'=a\ . . (l) 

 en posant pour abréger (I -\-p^-{-q^ = k^. 

 Différentiant deux fois partiellement cette équation on a ; 



k^ 

 f'' + î« = — — p. . • (2). 



k^ 



ps + qt = q. , . (3). 



z 



Avant de faire la substitution de,r,»,^, dans l'équation générale (A) des 

 lignes de courbure, il convient de préparer celle-ci de manière à faire 

 entrer la quantité k^ dans chacun de ses termes , alors elle devient 



Et si maintenant l'on y substitue pour (ps-{-qt) , {pr-{-qs), [r—t) 

 {p-r—q^i) leurs valeurs tirées de (2,5), tous ses termes deviendront 



divisibles parle factcurU-^^Uî^ et l'on aura 



