268 J.-B. Brasseur. — Lignes de courbure de quelques surfaces , etc. 



dx^ dj;\ pq j 



Telle est l'équation des lignes de courbure des surfaces des canaux. Si 

 on la résout par rapport à -7^, on trouve que la quantité sous le ra- 



UiZ' 



dical est un carré parfait et que les deux lignes de courbure ont res- 

 pectivement pour équation 



pdy — qdx = 0, pdx-\-qdy =0. 



Or la première est l'équation de la caractéristique de la surface 

 (M. p. 56) ; donc tout plan vertical perpendiculaire à l'axe du canal , 

 c'est-à-dire, à la ligne que suit le centre de la sphère génératrice, 

 coupe la surface suivant une ligne de courbure. 



V équaVwn pdx -{-qdy^^O de l'autre ligne de courbure, à cause de 

 pdx-\-qdy^=dz, devient «?z = ous = /3, qui représente un plan 

 horizontal. Donc l'autre ligne de courbure de la surface des canaux 

 est l'intersection de la surface proposée par un plan horizontal. 



En traitant de la même manière l'équation p- -|- y- = «% qui est 

 celle des surfaces dont la ligne de plus grande pente est une droite 

 d'inclinaison constante (M. p. 4o), on arriverait à conclure que l'une 

 des lignes de courbure, qui passe par chaque point de ces surfaces, 

 coïncide avec la caractéristique et que l'autre coïncide avec la section 

 horizontale qui passe par le même point. 



V. 



Lignes de courbure de toutes les surfaces développahks. 



L'équation différentielle partielle du second ordre de toutes les sur- 

 faces développables est (M. p. 82) 



rt — s* = 0. 



L'équation générale des lignes de courbure deviendra celle des lignes 

 de courbure des surfaces développables, en y introduisant la condi- 

 tion de rt — s'^ 0. 



Or, en remplaçant dans l'équation (A) rt par «^ et posant, pour abré- 

 ger, qs — /3< = m , on parvient sans peine à la mctti-e sous la forme. 



^, («+3"') ' + £[* (* H- 9'" )-'('- P>" )]-«('- P«^) = ; 



et en la résolvant par rapport à -r^ on trouve encore ici que la quantité 

 sous le radical est un carré parfait, et l'on a 



