J.-B. Brasseur. — Lignes de courbure de quelques stir/acea , ete, 269 



^, —a{s + qm)-^t{t—pm)±\ 8{s-\-qm)-[- l{t — pmU 



dx ' 2<(s4-7w) ~'' • • C^^' 



En prenant le signe — , il vient pour l'équation de l'une des lignes de 

 courbure. 



rfy .s 



^ == — -, ou bien, sdx-\-tdy =0 , ou bien ,dq=0 



et à cause que cette ligne est en entier sur la surface proposée on a 

 aussi : ri—s'=0, qui devient, à cause de la précédente: rdx-^sdy=^0 

 ou bien , dp = 0. 

 Donc on a pour l'une des lignes de courbure les deux équations 

 dp = I dont les intégrales, sont, j p = » 

 ^2 = )« étant une constante ar- 1 q = <p(te) 

 bitraire : 

 Substituant ces valeurs dep et de q dans dz = pdv -f qdy et intégrant 

 l'on a 



z = <tx-|- ?(«)?/ +v w . . . (i) 

 «"(«) étant une fonction arbitraire de la quantité « que l'on a consi- 

 dérée comme constante dans l'intégration. 

 Différentiant (1) par rapport à u seul , il vient 



= :r+cp'W.V+'^'W ... (2) 

 et l'une des lignes de courbure sera représentée par le système des 

 équations (Iet2), qui expriment que cette ligne est une droite et par 

 suite ne peut être qu'une génératrice de la surface proposée ; consé- 

 quence à laquelle on arriverait d'ailleurs en faisant subsister les 

 équations (1 et 2) avec l'intégrale de l'équation rt — »» = 0. 



Ayant reconnu que les génératrices d'une surface développable sont 

 toutes des lignes de première courbure , et sachant d'ailleurs que 

 les deux systèmes de lignes de courbure d'une même surface doivent 

 se couper à angle droit , il ne serait pas difficile de conclure , que 

 les lignes de seconde courbure dune surface développable doivent 

 être des développantes de l'arrête de rebroussement. Mais il est 

 curieux de rechercher si le calcul peut conduire à la même conclusion. 



Prenant maintenant le signes-]- dansJ(Bj; nous aurons pour équa- 

 tion de la seconde ligne de courbure 



dij t — p m 



d.c * -{- 9 "• 



qui devient, en remettant pour »« sa valeur (j* —;j/) et pour /?</jr 

 -\- qdy sa valeur dz 



s {d<j -f qdz) — t [dx -i- pdz) . . . (1) 



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