270 J.-B. Brasseur. — Lignes de courbure de quelques surfaces , etc. 



On a de plus pour la même ligne l'équation n — «'= 0, qui est celle 

 de la surface proposée sur laquelle celte ligne existe tout entière, et 

 qui devient à cause de la précédente 



r [dy + qdz) = s {d.v -\- pdz) ... (2) 

 Ces deux équations, qui appartiennent à la même courbe, sont 

 équivalentes à celles de deux de ses projections, 



et en y joignant l'équation 



dz = pdx -j- qdy ... (3) 

 résultant de la définition des quantités ;j et g, on aura trois équa- 

 tions pour la même courbe , qui équivaudront à celles de trois de 

 ses piojeclions , et dont deux quelconques suffiront pour la déter- 

 miner. 



Substituons dans (1 et 2) la valeur de ds tirée de (3) nous aurons 



dy[(l + 9') s - pq^ -= dx \^{ +/'')«- f 9«] 



«^3/ [(1 + ?') r — pqs\ = dx\[\ -{- p') s—pqr^ 



En posant [{ -|- g') r — Ipqs -^ (4 -f r) ' = A et tirant de là suc- 

 cessivement les valeurs de (1 -f- g-) r et de (l -fp') t pour les substi- 

 tuer dans les deux équations qui précèdent, il vient, en observant 

 que rdx -\~ $ d\j = dp et sdx -\- tdy = dq 



et l'équation (3) devient au moyen de ces deux 



hdz =^ pdp -f- qdq . . . (3') 



remplaçons maintenant h par sa valeur tirée de l'expression qui 

 donne les deux rayons de courbure des surfaces développables ; 

 cette expression est pour les surfaces développables, en faisant 

 1 _|_ p2 _j_ çî __ ^2 gt en conservant à h la même valeur que ci- 

 dessus (M. p. 142) , 



— 2*5 



des deux valeurs de R , fournies par cette équation , une est 

 infinie et ne peut convenir qu'aux lignes de moindre courbure 

 qui sont, comme nous l'avons trouvé , des lignes droites ou généra- 



k ' 



triées de la surface. La seconde valeur de R, qui est et qui 



h 



donne h ;= — —•, est donc la seule pouvant convenir à la ligne déplus 



