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J.-B. Brasseur. — Liij»cs de courbure de quelques surfaces , e'x. 273 



(^ _ ^)i 4- (y _ ^)^ + [* _ y^/R v/ (i - <,''- 1'^)] = R' 



j 1= ip — R <p' 



y ^ ^ — Pv ^^' 



et l'élimination de l'indéterminée R entre ces trois équations pro- 

 duira ens, y ,zei deux fonctions arbitraires , deux équations qui 

 seront équivalentes à celles des deuxprojectionsdelalignedecourbure. 

 Pour connaître la signification géométrique du résultat de l'élimi- 

 nation de l'indéterminée R , nous donnerons aux trois équations une 



autre forme. 



Des quatre quantités R , <pR , ^Î'R , '•"R , dont les trois dernières 

 sont d'ailleurs liées entre elles par l'équation <?>'* -j- ^^" + ;r'^ = 4 , 

 trois étant fonctions de la quatrième, on peut indifféremment prendre 

 celle d'entre elles que l'on voudra pour quantité principale et regarder 

 les trois autres comme fonctions de cette dernière. 



D'après cela, soient 5rR=*, (pR=<D<«, ^K =-t*, les caractères «î>, * 

 indiquant de nouvelles fonctions arbitraires , nous aurons 



L'î + ^'» 4- ^'*j dR* -= f i + *'* + *''] d» 

 d'où l'on tire 



dR=^da]/{l j-o'^-f *'*), et R== /*(/-!/ (i •!-«»" + *") 



substituant toutes ces valeurs , nous aurons à la place des trois équa- 

 tions précédentes les trois autres équivalentes 



{X — <i.«)3 -^{y — *«)' + (2 — «)' =[ fdu |/ ( H- «>" +^") J 



X — ^u = [s — u) <!>'<» 



y — *« = (z — ti) -ir'a 



qui, par l'élimination de la nouvelle indéterminée*, produiront égale- 

 ment en X, t/, z les deux équations de la ligne de courbure. 



La première de ces équations est celle de la surface d'une sphère 

 qui aurait son centre sur une courbe arbitraire, dont les projections 

 auraient pour équations ar = «a, y = ^z, le centre étant au point 

 de la courbe correspondant à a = <« , et son rayon variable étant 

 égal à l'arc de la courbe , compris entre le centre et un autre point 

 constant pris sur la courbe pour origine. Les deux autres équations 

 sont celles des projections d'un diamètre de la sphère tangent à la 

 courbe. Il est évident que pour une même valeur de » , ces trois 

 éfjuations appartiennent au point d'intersection de la surface 

 sphérique et du diamètre tangent à la courbe, et par conséquent 

 ù la développante de celle-ci. 



