274 J.-B. Ehasseur. — Lifjius de courbure de quelques surfaces, etc. 



D'un autre côté le diamètre de la sphère mobile engendre une 

 surface développable dont la courbe x = ^z,y = ^zest l'arête de 

 rebroussement et dont les génératrices sont toutes perpendiculaires 

 à la développante (ligne de courbure à déterminer). 



Ainsi l'analyse présente la seconde ligne de courbure comme étant 

 la développante de l'arrête de rebroussement d'une surface dévelop- 

 pable quelconque dont les génératrices sont perpendiculaires à cette 

 développante. 



Or la surface développable proposée jouit de cette propriété ; car 

 toutes ses génératrices, étant des lignes de première courbure, 

 comme il a été démontré, coupent à angle droit une ligne quelconque 

 de seconde courbure. 



Donc toute ligne de seconde courbure d'une surface développable 

 quelconque peut être regardée comme étant la développante de l'arête 

 de rebroussement de cette surface développable. 



D'après cela l'analyse nous paraît impuissante pour déterminer les 

 lignes de seconde courbure sans connaître au préalable les lignes 

 de première courbure. Nous n'avons d'ailleurs pas trouvé moyen de 

 déterminer la forme des fonctions 4> , + qu'il faudrait connaître pour 

 construii'e la développante de la courbe a;= <i>c , </ = S's. 



VI. 



Note sur une propriété relative à r/tt/pcrboloïde à une nappe et au 



paraboloïde hyperbolique. 



L'équation de l'hyperboloïde à une nappe, rapporté à ses axes et 

 à son centre , est 



-"> ç 



X- V- !.■' 



a' ^ b' c- •^'' 



Si l'on coupe cet hyperboloïde par une sphère concentrique ayant 

 pour rayon \/ {a- -\- b^ — c-) , je dis que les deux rayons de cour- 

 bure de l'hyperboloïde en chaque point de la courbe d'intersection, 

 sont égaux et de signes contraires. 



Pour que les deux rayons de courbure en un point d'une surface 

 soient égaux et de signes contraires, il faut que les coordonnées de 

 ce point vérifient l'équation différentielle partielle suivante (M.p.l84j: 



(1 +q^-)r-<ipqs+{l+p"')t = 0. . . (2) 



L'équation (1) difîérentiéc partiellement donne successivement 





