J.-B. Brasseur. — Lignes de courbure de queUfiies surfaces, etc. 275 

 «- i b- t 



en substituant ces valeurs de p , 9, r, s , < dans (2) , ou aura une 

 équation en x , y, z, qui sera celle d'une surface ; et si celte surface 

 peut couper celle de l'hyperboloide , il en résultera qu'en tous les 

 points de la courbe d'intersection , la surface de l'hyperboloide jouit 

 de la propriété énoncée. 



L'équation (2), en y substituant d'abord les valeurs de r,«, t, est 



divisible par le facteur „, , , et devient 



a" 0' a^ 



- (1 + <r) {b' - y') + 2/^î^î/ -(!+/')(«'- ^=) = 0, ou bien 



,/-{.x'~ {a- + b'} + {px + qy)^ - («'^^ + fi' 9=) = , 

 qui devient, en y mettant à la place de p et de 5 leurs valeurs , 



a \a- b-J z- \o- b 

 Ea observant que d'après (1) -7-+ '; = 1 H — r 



a 



i^ 



l'équation précédente se réduit à 



Ainsi les points de l'hyperboloïde , qui jouissent de la propriété 

 énoncée, se trouvent sur une sphère concentrique à l'hyperboloide 

 et dont le rayon =1 y/ {à^ -\- h^ — c^) ; ce qu'il s'agissait de prouver. 



Cherchons maintenant le lieu géométrique des points du paraboloïde 

 hyperbolique en chacun desquels les deux rayons de courbure sont 

 égaux et de signes contraires. 



L'équation du paraboloïde hyperbolique rapporté à son sommet et 

 à ses plans principaux est : 



__^ + 2z = . . . (1). 



a et 6 étant les deux demi-paramètres des paraboles principales. 



En différentiant partiellement celte équation (I) on a successive- 

 mont : 



