XIV. Considérations générales sur les courbes algébriques , 



Par. m. STEICHEN, 

 Professeur à l'école militaire de Bruxelles. 



§• I. Supposons que la courbe la plus générale du degré m soit 

 rej)résentée par l'équation : 



= .T"> + ip + qy) ^""—^ + ('' + «y + ¥) ^'"~' + •.. 

 Coupons cette courbe par une transversale quelconque, que l'on peut 

 cependant prendre parallèle à l'axe des abscisses x, dont la direction 

 est en effet elle-même arbitraire. Les ordonnées des points d'inter- 

 section de la droite avec la courbe auront donc une seule et même 

 valeur y = /3. Pour obtenir les abscisses d'intersection, on n'aura 

 qu'à substituer dans l'équation de la courbe la valeur constante y^/S, 

 et résoudre par rapport à <* l'équation qui en résulte : or en désignant 

 par s x , la somme des racines ainsi obtenues , on trouve évidem- 

 ment : 



2j7 = — (p+^/9) 



Ainsi en nommant X, Y, les coordonnées du centre des moyennes 

 distances des intersections de la transversale avec la courbe , on a : 



X = — , Y=-^ =/3. 



m m 



Supposons maintenant que la transversale se meuve parallèlement 

 à elle-même. Le centre des moyennes distances de ses intersections 

 aveclacourbe décrira, dans ce mouvement, une certaine ligne dont on 

 obtient l'équation par l'élimination , de la constante ou du paramètre 

 /3. des deux équations précédentes ; on trouvera ainsi : 



wfX + çY-f/) =0. 

 Il suit de là que quand une transversale se meut parallèlement à elle- 

 même, le centre des moyennes distances, de ses points de rencon- 

 tre avec une courbe donnée, décrit une ligne droite. 



Définition : C'est cette ligne droite ainsi décrite que l'on peut 

 nommer généralement un diamètre de la courbe. Ainsi le diamètre 

 d'une courbe algébrique est la ligne droite qui exprime le lieu des 

 centres des moyennes distances des intersections de la courbe avec 

 un système de cordes ou de sécantes parallèles entr'elles. 



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