Steichen. — Considérations générales sur les courbes algébriques. 281 



«, y,/3,... pour que la courbe soit pourvue d'un centre unique ; et elle 

 a déjà été établie, d'après une marche différente et sous un point de 

 vue différent, par Euler dans son introduction à l'analyse des infinis. 



Quant aux coordonnées de ce centre unique, on peut les trouver 

 sous deux formes différentes , selon qu'on les détermine par les 

 équations posées ci-dessus , ou par l'intersection des deux diamètres 

 respectivement conjugués aux axes coordonnés. En suivant cette 

 dernière marche on obtient : 



ly — 3«.»; /i.^ — Scî'.e 



~9».^—/3y'^~ 9«^ — /3y 



On voit que le centre unique passe à l'infini et que par suite tous 

 les diamètres deviennent parallèles pour les courbes du 5™« ordre 

 qui satisfont à l'équation (A) et à la condition : 



9.^—/3-y = 0; (B) 



que la courbe sera rapportée à son centre comme origine, toutes 

 les fois qu'on aura : £ = 0, <; = 0. 



Enfin que la courbe admet une infinité de centres toutesles fois que 

 la condition (A) n'est pas satisfaite. 



Suite de la recherche des Diamètres conjugués. 



§. S. Pour établir la méthode générale de la recherche et de l'exis- 

 tence des diamètres conjugués , nous traiterons l'exemple des courbes 

 du second et du 5°" degré : soit la courbe du second ordre 

 uy^ -f- /ixy -f- y^^ -{- ^y -{- ex -}- 1 = 0. 



Si l'on cherche le diamètre conjugué à l'axe des abscisses, on 

 s'aperçoit qu'il devient parallèle à l'axe des y, pour le cas de /3 =0. 

 De même en cherchant le diamètre conjugué à l'axe des y, on trouve 

 qu'il devient parallèle à l'axe des ^ par la même supposition de /3=0. 

 Donc toutes les fois que la courbe est rapportée à un syiilème de 

 diamètres conjugués entr'eux, le termeen a;?/ s'évanouit de sou équa- 

 tion, qui devient par conséquent : 



^'u' + y't^^ru-{- t't -M' = 0. 

 t, u dénotant les coordonnées d'un point quelconque de la courbe 

 rapportée à un tel système d'axes , ou de droites parallèles à ces 

 axes conjugués. — Ainsi pour déterminer un système de deux dia- 

 mètres de cette nature, il suffit de passer des coordonnées primitives 

 qu'on suppose rectangles, à un autre système de coordonnées obli- 

 ques de même origine, former le coefficient total du terme <m, et 

 l'égaler à zéro : l'équation de condition qui en résulte déterminera 

 tout ce qu'on pourra désirer sur cet objet. — Nommons B l'angle d'un 



