282 Steichen. — Considérations ghinales sur les courhcs algébriques. 



nouvel axe t avec celui des abscisses , A i'aiijjle compi'is entre les deux 

 nouveaux axes f , m : en faisant pour abrégei' cos B = >« , sia h ^=^n, 



tos (A -f- B) = /), sin (A + B) = q. on aura : 



X =2 mt -f- pu. 

 y = nt -\- qii . 

 De là on déduit : 



«' = ««9° + /3 •/> • 9 + y • P' 



/s' = 2* . wç-j- /3. np -f- ;3. »tq -\- 2/ . mp 



«' /s' y' dénotent les coefficients de m-, f, »<, <-, dans l'équation trans- 

 formée , respectivement. — Pour que les axes f , «, forment un sys- 

 tème de directions conjuguées , il faudra donc poser la condition : 



2 . <« . M . 9 -|- ^ . M . ^j -|- ^.7« . g -}- 2 . y . wt . p = 0; 

 0!! bien , en remettant pour 7n , n , p ,ri , leurs valeurs : 

 (C).... . = 2<.. sinB. sin(A + B) + 2y. cosBcos(A + B) 



+ A sin B cos (A + B) 4- cos B sin (A + B) ! ' 



Or en se donnant l'angle B à volonté, on déduit de cette équation la 

 valeur correspondante de A, qui fournit la direction conjuguée à 

 celle de l'angle B. Donc dans les courbes du second ordre, il existe 

 une infinité de systèmes de directions et de diamètres conjugués. 



Si on veut trouver un tel système à angle donné, on n'aura qu'à 

 attribuer à A cette valeur, et résoudre l'équation |iar lapport à B. 

 Si cet angle est par exemple A= 45°, on trouvera pour B 



(^_y_j_^;sin2BH-(a— y — /3) cos 2B-f-«+y = 0. 



w 



Si cet angle A = 90° === — , on trouve 



Celte double valeur prouve qu'en effet les deux diamètres conjugués 

 sont à angles droits; et qu'il n'y a qu'un seul système de cette espèce. 

 On a ainsi les directions des deux axes principaux d'une section 

 conique , en fonction des coefficients a , /3, y des termes de seconde 

 dimension dans son équation. 



Dans l'équation (C) continuons à considérer la quantité B comme 

 arbitraire ou donnée, et la quanlilé A + B = C comme incon- 

 nue. En divisant tous ses termes par cosB cosC , on en tire : 



2y + /3 • t<iug B 



tangC = r-^ — : 5- . . . '^^ • 



/3 -|- 2« . tang B 



équation qui résout directement la question générale. 



