Steiciiex. — Considérations fjênérales sur les courbes ulgi'hriques. 283 

 Si l'on voulait avoir le système des diainètresconjuguésà longueurs 

 égales , on n'aurait qu'à poser à la fois les deux conditions : 

 as' = y' et /3' = , ou CCS dcux-ci : 



y(m= — p-) 4- «(n- — q'} + ^(»m — pq) — 0, . 

 %/mp -f- 2«w^ + ft{ttp-\-mq) = 0, 



et déterminer les angles -^ et -Ben conséquence. Si la courbe était 

 déjà rapportée à un 1" système de directions conjuguées , on ferait 

 /3= dans ces équations , qui deviendraient ainsi : 



y{m' — p') + ci{n^ — q-) = 0. lotnq + %/mp= 0. 

 §. 6. Pour déterminer les diamètres conjugués dans les lignes 

 du 5'""^ ordre, on n'a qu'à suivre la marche tracée précédemment. 

 En reprenant réqu4'ition générale on a: 



«y' -f fixf- + yx'y + Sx' + itf- + |.ry + ,^^ -|- «/(/ + «+ H = 0. 



Si l'on passe aux axes < , m et qu'on fasse : 



cos B = «« , sln B = « , cos (A +B) = p, sin (A + B] = gr, 

 on trouvera : 



cc'u' -f- /3Vw2 + y'^^M + «?"<' + s'u^-f l'wf + ^'Pn + etc. = 0, 

 fi' ='Âanq* + '^S-inp^ + /S»'?* -\-^^npq + Syw/jç + ynp^ , 

 y' =3««^g'-l-3^.w^;j-J-2/3.»i.n . q -{- fiti^p -{- ^yni.n.p-^-ynvq. 



Or en cherchant tour-à-tour les diamètres conjugués aux axes < et m , 

 on s'apercevra facilement que le I'' est parallèle à l'axe « quand /s' 

 = 0, et que le second est parallèle à l'axe t , si l'on a y' = 0. Mais 

 dès lors lisseront conjugués entr'eux. Donc pour découvrir un sys- 

 tème de diamètres conjugués, dans le cas actuel , il faudra poser les 

 deux conditons /S' = 0, y' =0 et parlant ; 



3«wg2 -I- ÂS-.mp^ + /SOTÇ^ -j-S/BMjD? + °>ympq -f y .«;>- =0 , 

 Za.n-q -f- '5e- . Ht- .p-1-2,3 .m.n. q-{-fin-p-\-^y .m.n .p-^-ym-q r= 0. 

 Toute courbe du o"'" degré, pour laquelle ces conditions sont impos- 

 sibles , n'admet point de directions conjuguées ; on voit que dans 

 aucun cas, on ne saurait encore avoir une infinité de systèmes con- 

 jugués , puisqu'il n'y a que deux inconnues ^, B, et qu'il y a deux 

 équations de condition pour les déterminer. 



Si l'on multiplie la I'° de ces équations par n, la seconde par q , 

 et qu'on retranche l'une de l'autre, on obtient, par la suppression 

 du facteur commun np — mq , la condition plus simple : 



dS .m .p -\- fi.n.q-\- y{np -\- mq] = 0. 

 Si l'on multiplie la 1" par «», la seconde par p, et qu'on retranche 

 l'une de l'autre, on obtient encore, par la suppression du facteur 

 commun : 



