284 Steichen. — Considérations générales sur les courbes algébriques. 

 5.ct.n.q-^y.m.p-\-/î (mq -{- np) = 



Si donc on restitue les valeurs de m , n , p , q, les deux conditions 

 finales deviendront : 



3^^ cos B cos (A 4- B) + ^ sin B sin (A + B) + y sin (2B + A) =0, 

 3 . .« . sin B . sin (A + B) + y cos B cos (A + B) + ^ . sin(2B + A) =0.' 



Si l'on veut avoir un système de diamètres conjugués rectangles , 



on doit faire A == 90 = - ; 



De là on déduit : 



tang 'B -\ -. tang B — 1 = 0, 



y 



<r 



tang-B — ^. tang B— 1=0. 



ce qui donne la condition entre a , /3, y ; 



3(/3<^+*y)=^2 4-y2; 



laquelle est nécessaire pour que les axesconjugués rectangles puissent 

 exister ; et l'on obtient ensuite la direction de ces axes par l'équation 



2/3 



Si l'on a «J" = i ^ , « == 1 y , la 1" condition est évidemment satis- 

 faite, et l'on obtient l'angle B = rfc i . 



Ainsi l'on voit qu'il y a des courbes du 5™" degré qui admettent 

 deux axes principaux. 



Remarque I. L'application de la méthode précédente à des courbes 

 particulières du Z""" degré n'ofifrast pas de difficultés , nous ne nous 

 arrêterons pas aux exem|)les. Mais nous rappelerons au lecteur qui 

 serait curieux de connaître à fond la théorie des lignes du 3"" ordre, 

 qu'il peut consulter avec fruit le second tome de l'introduction à 

 l'analyse des infinis où Euler classe ces lignes en 16 espèces différen- 

 tes, selon la nature et la variété de leurs assymptotes. 



On pourra appliquer à chaque espèce les considérations qu'on 

 vient d'exposer, et en déduire quelques propriétés nouvelles , parti- 

 culières à chacune. 



Remarque II. Dans une courbe de degré m , représentée par 

 «y" -\- /ixy"-' + yyo,--"-' -f etc.. = , 

 on peut encore démontrer que si le tout est rapporté à de nouveaux 

 axes f , u , qui donnent la transformée 



*'m» -j- /3' . f . M"-' -}-y'.<»-' .M + etc = 0, 



les qiiatités /3', y' doivent s'évanouir, pour que les axes t, u puissent 



