28G Steichen. — Considérations générales sur les courbes algébriques. 



Remarque Vil. Quand une transversale tourne aulonr d'un point 

 fixe, le lieu des centres des moyennes de ses intersections avec une 

 section conique est une autre section conique , l'équation delà 1" 

 courbe étant de la forme : 



celle de la seconde dans laquelle (a, h) désigne le point fixe, sera : 

 kx- + B(/^ + aKx 4- JBy =±: 0. 



Dans le cas de la parabole on trouvera une courbe du 3""^ degré 

 qui se réduit à un diamètre de la courbe lorsque le point fixe est 

 placé au sommet de la courbe ; de là on peut déduire un moyen de 

 construction de la courbe. 



Remarque VIII. Quand une transversale pivote autour d'un point 

 fixe donné , les centres des moyennes distances de ses intersections 

 avec « droites données sont sur une courbe du degré n -. en dési- 

 gnant par î/ — Mx — N = 0, y — M'a; — N'= les équations 

 de deux droites données , on aura pour la courbe l'équation : 



^^==Y:rMx + -Y3i;rx'P^''^^"' 



2(Y - MX) (Y — M'X) — N (Y — M'X) — N' (Y — MX) =- 0. 

 Ce qui forme alors une hyperbole dont les asymptotes sont parallèles 

 aux deux droites données et qui passent par le milieu de la droite 

 qui joint le point fixe donné au point de rencontre des deux 

 droites proposées. De là on déduitun nouveau moyen de construc- 

 tion de l'hyperbole; cette courbe étant donnée, on peut aussi déter- 

 miner les deux droites correspondantes. 



Si les droites données sont au nombre de trois , la courbe cherchée 

 aura pour équation : 

 5(Y— MX) (Y — M'X) (Y - M"X) - N(Y — M'X) (Y — M"X) 

 = — N'(Y — MX) (Y — M"X) — IV"(Y — MX) (Y — M'X) ; 

 et elle aura trois asymptotes rectilignes parallèles aux trois droites 

 données , et passant en un même point , situé au tiers de la droite 

 qui joint le point fixe au point d'intersection des trois droites propo- 

 sées. En effet le facteur Y — MX , donnera par l'équation trouvée : 



„^ N , N' /Y — MX\ , N". /Y — M'X 

 Y — MX = =r-^ -=-[- rTTTF + 



3 ' 3 \Y— M'X/ ' 3 \Y-M"X 



et l'équation de l'asymptote sera par conséquent 



N 

 y =MX+-^. 



