Steichet^. — Considérations générales sur les courbes algébriques. 287 



Remarque IX. Il peut, se faire qii.c l'équation (A) du §. 4 soit satis- 

 faite, sans que la courbe proposée soit pourvue d'un centre propre- 

 ment dit; mais il faut qu'alors les coordonnées à, ^, prennent en 

 même temps des valeurs indéterminées. Soit par exemple la courbe, 

 du 3"« degré : 



Dès lors on aura a! = 0,/3=0,y=0,|=:0,;)=0, £^ = 

 dans l'équation générale ; l'équation (A) sera évidemment satisfaite ; 

 mais on trouve en même temps a :=|, ^= ^ Or en opérant 

 directement sur l'équation particulière posée ci-dessus , on trouve 

 que toute transversale parallèle à l'axe des abscisses , engendre un 

 diamètre qui coïncide avec l'axe des ordonnées, et que la transversale 

 parallèle à ce dernier axe produit un diamètre qui coïncide avec le 

 premier axe (celui des a;); l'origine des coordonnées est donc le point 

 d'intersection de ces deux diamètres conjugués rectangles. Mais 

 toute autre transversale, ayant une direction intermédiaire, engen- 

 dre constamment un diamètre parallèle à l'axe des ordonnées ; de 

 sorte que la courbe est dépourvue de centre proprement dit, ou si 

 l'on veut , elle a un centre particulier, placé à l'origine des coordon- 

 nées, et son autre centre sera partout à l'infini. Mais il est évident 

 que dans des cas semblables le procédé du §. 4 , qui suppose le point 

 d'intersection de deux diamètres quelconques , placé à une distance 

 finie, n'est plus applicable. 



Remarque X. Les considérations générales exposées précédemment 

 sont encore applicables aux courbes à double courbure : soient à tet 

 effet, 



*°4- (p-\-9~) •!"-' + etc.... -|-/==0, 

 2/" + (P + Q=) r-' + etc.... + L= 0, 

 les équations des projections de la courbe sur les plans des {x, z) et 

 (î/,z). Concevons un plan transversal que nous pouvons diriger paral- 

 lèlement au plan des xij, dont la direction est elle-même arbitraire. 

 L'équation de ce plan sera donc : 



Z = constante = J" ; 

 et le centre des M , D. (X , Y, Z) de ses points d'intersection avec la 

 courbe , se trouvera lui-même sur ce plan, et l'on aui-a : 



m m VI 



Or d'après les équations de la courbe, on doit avoir : 

 Sx = — (p -f- çi) = — (yj -J- 9<^"^) 



2y__(P4-0Z) = -(P4-Q^). 



Parlant : •zx= — (p +q^), Sy =— (P -j- Q . <^) , et Z := <^. 



