XV. Sur la résolution des équations numériques , 



Par J. m ARTYNOWSKI , 



Répétiteur de mathématiques à l'Ecole des Arts-et-Manufactures et de* 

 Mines de l'Université de Liège. 



Je me propose de donner, dans ce mémoire, quelques théorèmes 

 et développements qui se rapportent à la résolution des équations 

 numériques. 



On y trouvera , entre autres choses , l'algorithme de Budan étendu 

 jusqu'à la série de Taylor; une nouvelle démonstration élémentaire 

 du terme complémentaire de cette série; le développement de la 

 puissance quelconque et du logarithme d'un polynôme; un essai sur 

 la partition des nombres et les nombres partitifs ; l'équation aux 

 puissances et aux combinaisons des racines de la proposée, elc. 



Quant à ce qui concerne l'objet principal du mémoire , il consiste 

 à n'employer que les dérivées successives dans la recherche des lieux 

 des racines réelles d'une équation. A cet effet je donne , sur les va- 

 riations de signes dans les dérivées d'une équation, un théorème 

 très-remarquable, à l'aide duquel on peut s'assurer du nombre pos- 

 sible des racines réelles, comprises dans l'étendue de ^oo à a; 

 quoique , à l'instar de la règle des signes de Descartes , ce théorème 

 ne précise pas , si les racines en question existent ou non. Pour le 

 calcul approximatif d'une racine, j'emploie de préférence la méthode 

 de IVewton, après avoir démontré : \° qu'on peut toujours la rendre 

 applicable à ce calcul et 2° constater les limites de la convergence 

 que fournit cette méthode. 



On trouvera aussi, dans ce mémoire, une nouvelle méthode pour 

 le calcul des racines imaginaires. Voici l'exposé de cette méthode. 



On sait que la construction d'une racine imaginaire dépend de ces 

 deux choses : 1° du module et 2° de la partie trigonométrique ima- 

 ginaire : cette dernière étant la racine algébrique de + 1 ou — 1 , 

 ou bien l'exponentielle à base népérienne et à exposant imaginaire. 

 Je résous la question des modules , en donnant l'équation aux com- 



