Martynowski. — Sur la résolution des équations mnnériqttes. 291 



binaisons deux à deux des racines de la proposée. Cette équation aux 

 combinaisons deux à deux est du degré marqué par le nombre des 

 combinaisons deux à deux des racines de la proposée ; elle comporte 

 autant de racines réelles qu'il y a des combinaisons deux à deux à 

 établir entre les racines réelles de la proposée, plus, celles qui 

 viennent de la combinaison des racines imaginaires conjuguées entre 

 elles-mêmes. Connaissant les racines réelles de la proposée, il sera 

 aisé d'en faire les combinaisons deux à deux et de distinguer parmi 

 les racines réelles de l'équation aux combinaisons deux à deux , celles 

 qui donnent les modules ou plutôt les carrés des modules. Pour 

 trouver la partie trigonométrique de la racine imaginaire, je pro- 

 cède de la manière suivante. En représentant le module par r et la 

 partie trigonométrique par t, on sait que s'il y a une racine imagi- 

 naire de la forme r^, il y a aussi une autre de la forme rt~\ Cela 

 posé , je mets successivement rt et rt~^ , à la place de l'inconnue de 

 la proposée , et j'ai ainsi deux équations dont le produit est une 

 équation réciproque en t , réductible au même degré que la proposée 

 ])ar la transformation t-\-r^ = u. Cette dernière équation , fonction 

 implicite de r et de m donne, il est vrai , autant d'équations distinctes 

 qu'il y a de modules trouvés précédemment. Mais les racines de u 

 nécessaires à la construction des racines imaginaires de la proposée 

 sont toujours comprises entre o et 2r; tandis que toutes celles 

 d'entre u , qui sont étrangères à cette construction, dépassent déjà 

 ces limites ; par conséquent, il sera aisé de trouver toutes les valeurs 

 de « , correspondantes à celles de r et construire ainsi la racine ima- 

 ginaire cherchée. 



§ I. algorithme de Budan. 



2. On sait que toute fonction entière et rationnelle d'une seule va- 

 riable X , que je représenterai par fx , après avoir été ordonnée 

 suivant les puissances ascendantes ou descendantes de la variable 

 peut se mettre sous la forme : 



?.r = a,x^ -f a^j;°>-« -f ... J^ o^_,a;-f a^ , 



OU bien sous celle-ci : 



les coefficients Oo, a,, «i , ••• étant constants. 



3. On démontre aisément que la fonction ?x, définie dans le 

 n" précédent, est co«^nMe, c'est-à-dire présente une suite continue 



