294 Martyinowski. — Sur la résolution des équations numériques. 



X — o; récii)roquement , si un iiolynome <px est divisible par x— a, a 

 est une racine de l'équation (px=^o, 

 5. Reprenons l'équalion 



cpr = (j: — a). tpjX -{- ça 



et supposons qu'on divise f^x par x — a ; le quotient en étant f^x et 

 4), a le reste, on aura 



<?^x = {x — a). 92-y + =P|0. 



De même, divisons f^x par x— a puis supposons que ÇjX, soit le 

 quotient et ç^a le reste; nous aurons 



et ainsi de suite. En prenant une, puis deux, trois,... des équations 

 précédentes; on parviendra, par des substitutions successives , aux 

 résultats suivants : 



■ <pa; ;=: cpo -f- 9ia. [x — a) , 

 (pj: r= ça -|- ?i«- (J' — «) ~t~ fi^- i^ — "■Y 1 

 vx = tfa -\- ç,rt. (j7 — o) -\- <Pja. (x — ay -\- <s^a. {x — o)' , 



etc. etc. « 



généralement , 



<fX=^fa-\-<f^a.{x—a)-{-<?^a. (r— a)--|-. ..-}-.. .(p„a. (r— a)",...(4). 



Posons X— a=^h, d'où a;-= a -[- /t ; la dernière égalité prendra la 

 forme suivante : 



<f(a-{-h)= aa-\-o^n.h-\- <f^a. A^ -f +t?na. ^"4- .... (2). 



Les formules (^) et (2) sont connues sous le nom d'algorithme de 

 Btidan. La formule (2) fait voir que toute fonction algébrique ou numé- 

 riq'ie , entière et rationnelle , peut se développer suivant les puissances 

 entières de l'accroissement de lu variable de celte fonction. 



Voyonsmaintenant quelle est la nature des fonctions <fa,<f^a, <fM,... 

 tp„fl, qui entrent comme coefficients des puissances 0, 1, 2, 3,... n 

 de l'accroissement h , suivant lequel le développement (2j est or- 

 donné. 



On sait d'abord que ça n'est autre chose que le polynôme fx , dans 

 le(iuel on fait x = a. En divisant çx par x — a et désignant le 

 quotient par (pix ; le reste de la division de <px par x—a sera ç,a. De 

 même, en divisant ç,x par x — a et en représentant le quotient par 



