Martynowski. — Sur la rêsolttlion des équations numériques. 295 



»,x, le reste sera 9ia; et ainsi des autres fonctions y^x , ç^x ,v^x,... 

 Or, d'après le n° 4, la fonction =p^x étant d'abord mise sous la forme 



f^x= Oo'a;"'-* 4- ai'.r^-^-f- ... -f- a',,..^a: + a' 



m—,, 



on aura, en y substituant pour aj, a/, o/, ... leurs valeurs, données 

 sous la marque {"2) du n" 4 , 



{a„a- -f a^a -{-a^) a;""-' -f- 



OoO"-'-}- a^a"'-* + «,a™-' + ... -f- o„-. 

 Or, tPiO est ce que devient <f^x lorsqu'on y faita.=a : donc, 



Oo»'""' -f- a, a™ -"^+0,0'»-' -{-. 



Goa"-' + a^a'"---^- a^a'"-^ + ... + o.n-. 



Cette expression de <f^a se compose de m lignes , dont chacune a 

 un terme de plus que la précédente; par sui'e de quoi, les termes 

 a„a"'-\ 0^0°-% Oja'"",... s'y trouvent répétés successivement m , 

 m—i , m— 2,... fois. Donc , en ajoutant , il viendra 



tp^a = maoa""'+ {m — 1) a^a'"--' -{"••• + ^ ""'-^ ** ~l" '^m-t. 



En comparant ce résultat avec 



tpa = ff„a"' -|- «i»™"" + .... + «m-i a -\- a„,; 



on voit que chaque terme de f,a se tire de celui qui a même 

 rang dans tpa, en multipliant par l'exposant et diminuant l'exposant 

 d'une unité : le terme constant a^ , qui est censé être affecté de 

 a", disparaît dans cette opération. L'opération qu'il faut faire subir 

 à tpo, pour en déduire ffl, s'appelle dérivation : et f^a dérivée de <p«. 

 Cherchons maintenant le quotient de la division de (p,^ par x—a. 

 D'abord 



<p^x = mUoX'"-^ -f- (»» ~ 1 ) a^.x'^-- -f- • • • + 20™-. x -f «m-. 



Le quotient devant être un polynôme du degré »i— 2 en x, repré- 

 sentons-le par 



(p,.r ^ aj'x"'-' + ai"x™-3 + .... -f a".,.-,. 



