Martynowski. — Sur la résolution des é(juaHons numériques. 297 



ça = a„am -{- a,a'"-* -}- a^a'"~^-\- ... 

 <p'a = 7;iaoa'"-' + (*« — 1) rt,a™-- + {m — 2) a,«'"-'4- ... 

 ç"a^m[m — 1) a„a™— '4" (»» — *) ("» — 2) «,«■""' + ... 

 etc. etc. 



D'après ce qui vient d'être dit sur la formation de ?,«, f^a, 9,0,... 

 on aura 



i 



Au moyen de ces expressions , on mettra la formule ci-dessus (2) 

 sous la forme 



L'algorithme de Budan , rais sous cette dernière forme , est ce 

 qu'on nomme la série de Taylor. Elle n'est ici démontî'ée que pour le 

 cas où la fonction est entière et rationnelle. 



6. En considérant une fonction n = <px pour une valeur particu- 

 lière de X , on a ce qu'on nomme état primitif de la fonction , et la 

 fonction elle-même est ce qu'on nomme fonction primitive. Or , si •'' 

 reçoit un accroissement quelconque h , la fonction varie et devient 



Cela posé , démontrons que , quelle que soit la nature de la fonc- 

 tion <px, la série de Taylor y est applicable, c'est-à-dire, que la 

 fonction 9^ peut toujours se développer suivant les puissances as- 

 cendantes et entières de l'accroissement h. 



En effet, prenons h pour la mesure de la fonction <? (.t-j-^) , c'est- 

 à-dire divisons 9 {x-\-h) par A ; le quotient de cette division étant une 

 fonction quelconque de a: et de h , que nous désignerons par 

 9 (a: , A) et r le reste , on aura 



ç{x-{.h) = r-\-h . ■i,{x,h). 



Or, si l'on fait h=o, on trouve f^ = r: donc 



