298 Martynowski. — Sur la résohition des équations numériques. 



De même , si on divise cp, (>r ^ h) j^ar h: le quotient en étant 9, (:r,/() 

 et !f>i;i; le reste ; on aura 



En divisant de nouveau tp, (x,h) par h , et représentant le quotient 

 par », [x, h) : le reste de cette division étant 9,* , on aura 



<f^{x,h)=i<f^3;-\-h.<f^{xJi)... (3) 



En continuant de la sorte et remettant , les unes dans les autres , 

 les équations (1) , (2) , (3)... on trouvera 



9 (a? -f A) = «par -j- <f^x.h-{-'f^x.h^ -f- '^^x.h^-{- ... (A) 



On démontre ainsi que toute fonction d'une seule variable est déve- 

 loppable suivant les puissances ascendantes de l'accroissement. La formule 

 ci-dessus (A) n'est autre chose que l'algorithme de Budan , étendu à 

 des fonctions quelconques. 



Pour trouver la nature des fonctions particulières fx , <p^x , tp.r , 



observons que le développement (A) est une fonction entière et ra- 

 tionnelle de h , et par conséquent la règle de la dérivation, que nous 

 avons donnée n'S , y est applicable. Comme 9^;, 9,^, 9^x ,... sont des 

 quantités constantes , dans le cours de la dérivation . nous aurons , 

 en employant les notations conventionnelles pour désigner les déri- 

 vées successives de 9 {a-\-h) ; 



(p'(x + A) = 1.9,^ + 2.933;. A -f 3. 9,.r.A' + ... 

 9" (x 4- A) =1 . 2 . 9,a; + 2 . 5 . 9r^ • /« + 3 . 4 . 94.'P • A' + •• • 

 9'" (a;+ A) = 1 . 2.5 . 9,0; + 2.3. 4 . 9«'^ • A + S-'î -S. 95«^.'»'+.-. 

 etc. etc. 



En fesant , dans tous ces développements , A = ; on trouve 



1 , 



