oOO Martyisowski. — Sur la résolution des éauationis nvmhiqxiex. 



Or , si la fonction ?" (o -f- «A) , pour toutes les valeurs e, comprises 

 entre et 1 , ne donne que des valeurs croissantes ou décroissantes , 

 on a également les trois quantités 



'i>"a;, 9"(:r-f-flA), <p" (^+A) 



croissantes ou décroissantes en même temps. D'où il suit que la 

 fonction <f" (^ -|- 8/*) en passant, par tous les états intermédiaires, 

 entre ?"-^ et <p" [^ + h), fra|)pe nécessairement sur /", fonction éga- 

 lement comprise entre 9°^ et 9" (-^ + A). Par conséquent, il existe 

 néiessairement une valeur intermédiaire de e , comprise entre et I, 

 qui donne 



/■=»"(3;-|- ih). 



Cette relation permet de mettre la série de Taylor, à partir de 

 son n •\- 1 terme , sous la forme 



ç(^4-A) = ça;-|-_.<p'^ + ^--"^9"a:+ -j-..._{___i-_.<pn(^+fl;j) 



Le dernier le terme est ce qu'on nomme terme complémentaire de la 

 série de Taijlor. 



Remarquel. Lagrauge est le premier des géomètres qui ait dé- 

 montré l'existence du terme complémentaire dans la série de 

 Taylor. 



La démonstration, que nous venons de donner, est tout-à-fait 

 élémentaire, exempte des notions des maximums et minimums , sur 

 lesquelles Lagrange a basé la sienne. 



IL L'emploi du terme complémentaire , dans la série de Taylor, 

 suppose que la fonction 9 V est toujours croissante ou décroissante, 

 pour toutes les valeurs possibles , com|)rises entre xetx -\- h. 



IlL En posant e = et e = i , on trouve les limites de la série de 



1 

 Taylor. On parvient aux mêmes résultats enposant 6= et e=J : 



comme il est facile de le démontrer, en examinant la diflférence , 

 portée même n°, sous la marque (1). 



^. IL Équations aux puissances et aux combinaisons des racines de 



la proposée. 



8. Cette question d'Analyse combinaloire peut être posée comme 

 il suit : 



