502 Martynowski. — Sur la résolulion des équations numériques. 



^. Méthode de Newton pour calculer la somme des puissances n dcs 

 racines de la proposée. 



On peut diviser l'équation (1) du n" précédent par o„ : ce qui 

 revient à supposer que le cccRicient du premier terme est un et ceux 

 des termes suivants des nombres quelconques que nous pouvons 

 représenter par «r,, a,, a^,... 



Le polynôme (ie l'équation (1), n" précédent, ainsi préparé, est 

 identique , comme on sait , avec le produit de m facteurs binômes , 

 ^ — ;rj, a: — x,,... x — ^m, de sorte qu'on a 



a;n._^a|.rn.-' + ...-l-a„ = (i; _ ^^) (:r _ a:J ... (j _ar„ ) , [\) 



^, , -^s 1 -^î 1-- •^"m étant les m racines de l'équation x -\- aj-r"-' -f- ... 

 -|- a^ = 0. En prenant la dérivée première des deux membres de 

 l'équation (1) on trouve 



„ia;n-' -f- {m — -I) «(.r"--^ + ••• + «>»-.,=- 



(^ — •^) (-^^ — Jr J.... ( ^— -î^J + 



[X — x^) .{.V — a-,)....\x - x^) J^,... 



c'est-à-dire que la dérivée première de la proposée est la somme des 

 produits de m facteurs binômes x — x^,x — x^ ,x — :r.,... ^—x„„ 

 pris m — i à »« — l.Donc. en divisant le polynôme de la proposée 

 par sa dérivée on aura l'identilé suivante : 



w.rn-' -f (w — 1 ) a^x«^- ' + ... + «m-, 1 , 4 



+ a.x'--' H- -\-a„ 



+ :r—r-^"" 



Or, en développant [x — ^^-K{x — -î^J-' ,... par la division ou par 

 la formule de Newton , on trouve 



•I \ X X ^ 



X — x^ X ' x' ' x^ 



' = - J l A - I- 



X — X^ ^ x^ X 



etc. etc. 



Ces équations sont au nombre m ; en les ajoutant et en représentant 

 les sommes des puissances 1 , 2, 3 ,... des racines par s,, «,, «, ,... 

 il vient 



• _m I „ rm-1 -1_ _1_ n T '" a''" ' j' ~V •" 



-f o/'""' + •••• + " 



