508 Martynowski. — Sur la résolution des équations numériques. 



dont chacune peut être prise pour la transformée aux puissances n 

 des racines de la proposée. Le produit de ces n équations sei'a la 

 transformée aux puissances n des racines de la jiroposée , dépourvue 

 de toute irrationnalité. En effet si on prend l'une des racines de la 

 proposée , telle que x^ , les équations ci-dessus (1) donneront 



1 i 1 



ar, =«'. s", Xi = «'s", j:, = «V, .... 



D'où il suit que 



1 i -i 1 



j.,— «'.s",.r, — «'.ï",T, —«'.:", ^, — «4.2",.... (2) 



sont les facteurs binômes correspondants des équations 0= 9,^ , 

 Q -_ ç 3. Q __ ç^ j. ^ ... Multiplions ces facteurs binômes et cher- 

 chons leur i)roduit. On sait que le pioduil de v facteurs binômes (2) 

 est un polynôme du degré n en a-,, auquel on peut donner la forme 

 suivante : 



fc , 6j , fc, , ... 6„ étant les sommes des combinaisons un à un , deux 



à deux , trois à trois , ... des seconds termes de binômes (2). Si l'on 



effectue ces combinaisons on verra qu'elles contiennent successive- 



i 1 i 

 ment z", 2", s" , .-. pour facteur commun , et que l'opération des 



combinaisons ne frappe à proprement dire que sur «',«',«',... u" 



Nous pouvons conséquemment poser 



1 11 



fc,= c, .z", b, == c, .2", fc, =03. z" , 



c , c^, Cj, .... étant les sommes des combinaisons de «', «% «', ...«", 

 pris un à un, deux à deux , trois à trois , etc. Ainsi , le produit (5) 

 prend la forme suivante 



t 



Or <*',<*%«',... «" sont les racines de l'équation «" — '1=0, pour 

 laquelle c,,c, ,c,, .... c„., sont nulles et c" = ± 1 selon que n 

 est un nombre impair ou pair. Par suite de ces relations , l'expres- 

 sion (4) se réduit simplement à deux termes 



