510 MartynoWSKI, — Sur la résolution des équations nvmrriques. 



$. III. PUISSANCES D'UN POLYNOME. 



13. Proposons nous actuellement de trouver le développement de 

 la puissance m d'un polynôme indéfini , tel que 



u=za-\- a^x-\-a^x^ -{- a^x^ -\- ... 



On a d'après la formule de Maclaurin 



, rfw" X d-u"' x^ 



' dTo 1 dM-„ 1.2 



les expressions , telles que 



du"> rf^?/™ d^u™ 



«/ m ^ 



dx, avo dx o 



désignant ce que deviennent m"" et ses dérivées successives, lorsqu'on 

 y fait x=0. Oi-, on a d'abord 



£?.!«•" = »(»"-' .du ; 

 et, en posant pour abréger, 



mu"-' = 't , du ^f , 



cette expression devient 

 En prenant des différentielles successives du produit i|' <p , on aura 



d . •vj'tp = ■vj' . «?9 -»- d^ . <o , 



d= . 4 9 = 4" . d^f ■+• 2c/4 ■ '^9 ~*~ '^"'^ • <? ' 



rf' . 4<p = 4 -^^f ■*" 3rf4 .</■? ■+- 5c?°4 •<^<? -♦- 0*4' • f -, 

 etc. etc. 



et en général. 



(a)... t/°-» . 4© = 4 . c?"-' <p -♦- (n — ICI) . «/4 . rf"-* (P -f-.... 



fn— ICI), (n — 2C2). ... étant les coefficients de la (n —1)* puis- 

 sance d'un binôme. Remettant pour 4 et tp leurs valeurs dans l'ex- 

 pression (a) , elle devient 



(b)... d" . «■" =: mu" ' .(/"M -}- (« ~ ICI) . VI . du"'-' d"-'u + 

 -f-(n — lC2j . >« . (/m"'-' . f/" ' m -f- ... 



