Martynowski. — Sur la résolution des équations tiumériqiies. 311 



Changeant m en m — 1 dans cette expi-ession et faisant successive- 

 ment /» == 1 , 2 , 3 , ... puis remettant les uns dans les autres les ré- 

 sultats obtenus , sans faire aucune sorte de réduction entre les termes 

 semblables , on aura 



n( — lCl).m.fl?"-'M. jw— l.tt*-' .du.i -f. 

 (w— IC !).♦«. d"-' M. »t— 1 . M™-» . d'u -]- 



m — I . »n — 2 . M"-» ,dui-\- 



{«— lC3).«i.d"-' .Mj m — l.W^-'.dhi-^- 



2 .> — i . (m — 2 . M"-'. é^mJ d-»^ -f. 



l.Un— 2.M'"-'.</^M-f-...1;f/M +etc. 



m 



Voici ce qu'on peut remarquer dans la construction de cette 

 expression : 



1° Un groupe quelconque, dont le rang serait marqué par le fac- 

 teur général {n — 1 Cp). m. «^"-p m, aurait pour partie comprise entre 

 I I tous les termes qui précèdent subissant le changement de m 

 enm — 1 et « en p. 



2° Les coefficients numériques des termes des parties comprises 

 entre | | sont ceux de la 1, 2, 3, etc. puissance, à partir du 

 second groupe marqué par le facteur {n — ICI), w. 



.3° La juxtaposition des fonctions rf"M", «?"-■«,... comme facteurs 

 fait voir que la somme des degrés de leurs caractéristiques est tou- 

 jours la même et égale à n : ce qui résulte aussi de ce que l'expres- 

 sion d"u"' ne saurait se composer que des quantités qui en se multi- 

 pliant produisent l'infiniment petit de l'ordre n. 



4° La multiplication de m, m — 1, m — 2,... fait voir qu'une 

 puissance quelconque de u, telle queM"»-p a pour facteur la factorielle 

 «iP/7, m en étant la base, p le nombre des facteurs etï (un négatif) 

 l'accroissement. 



5° Le nombi-e de tous les termes qui composent l'expression qui 

 nous occupe est 2"- , réductible à un certain nombre de termes 

 dissemblables, comme on le verra plus bas 



