Martyisovvski. — Sur la résolution des équations numériques. 313 

 V et »r' .a , . 



c?° et 1 .o 



o 1 



comme identiques et divisant les deux membres de l'expression en 

 rf-M" par 1°-' , on a le coefficient du terme en ^° dans le développe- 

 ment de la série de Maclaurin qui donne «"..n" 13. Il resterait à 

 faire des réductions non seulement entre les termes semblables de 

 chaque partie comprise entre | | , mais aussi entre les termes 

 semblables qui en résultent : c'est ce qui fait aviser à un autre moyen 

 plusexpéditif de la formation de ce terme général. Comme les carac- 

 téristiques d,d\ (/',... représentent des fonctions , et dans l'hypo- 

 thèse a;=0, des lettres tout à fait différentes, il est nécessaire de 

 distinguer les puissances des produits qui ne le sont pas : c'est 

 pourquoi , dans ce qui suit, nous distinguerons les puissances , en 

 écrivant leurs bases , entre les crochets , de sorte que (df et d- seront 

 l'une la deuxième puissance de d et l'autre la dérivée seconde pro- 

 prement dite. 



IS. Ordonnons maintenant le second membre de l'expression de 

 d"!*"», n" 14, d'après v , en prenant les indices de cette dernière quan- 

 tité , dans l'ordre descendant ; nous aurons évidemment 



, (m-l) , . (m-2) (m-ô) 



Comme on produit chaque partie de l'expression de rf"«*'° , n" 13 , 

 en changeant dans tous les termes qui précèdent , m en m — 1 et 

 n enp ; la même règle servira à ordonner cette expression de d° m" 

 par rapport à v. C'est ainsi qu'on déduira le coefficient de rl"'^) de 

 celui de v^-' ; le coefficient de i' (""-') de celui de v (■"--) ; et ainsi de 

 suite. En fesant dans le facteur d", qui multiplie v (■"-■ ), « = 1 , 2, 

 3,... et en multipliant ensuite les résultats par (n—lGl). ûi°",(n— 1C2). 

 rf""^,etc., on aura A , savoir : 



A = (n — iCl). dd'^-' -{-n—[C'2.d'd^ ' + .... 



On voit, abstraction faite des coefficients (-î — ICI), {« — 1C2), 

 n — 1C3 ,... que les termes rf.c^"-' , d-d"-^,... produisent la même 

 continuité que d"-^ {df , c'est-à-dire la dérivée de l'ordre n — 2 de 

 (df, qu'on déduirait de la formule [a] du n° 13, en posant ■4. = 9 =: 

 d et en remplaçant n par « — 1. Désignons cette circonstance par 



A^[f.d"-' (J;^]. 



