316 MartYIXOWSKI. — Sur la résolution des équations numérique». 



dans laquelle il faut prendre pour g , r , « ,... toutes les valeurs en- 

 tières , y compris zéro , qui satisfont à l'équation n' = q-\- r-\-8 

 +... En posant » = a, fi = a^x , p — a^x"- ,... le polynôme à déve- 

 lopper est 



«"= [a-\-a^x-\-a^x^ •\- ...)" 



et l'expression qui en comprend tous les termes est 



n'/T ra-n' <1 ^ « q + 2r-l- 5s+ ... 



m , a .a, .a^ . a, .... x 



(«) .q/1 ,r/l ,s/l 



1.1.1.... 



Pour appliquer cette expression à la recherche des termes affectés 

 de ;r° dans le développement de »™ , il faut d'abord poser 



n = ç + 2r4-3s+.,. 



et déterminer toutes les valeurs entières positives, y compris zéro, 

 de g, r, s,... puis en conclure la grandeur de n'qui est 



n 



' = î + '-4-*+. 



Or, nous avons prouvé que la dérivée « de n'" , divisée par l"l* , se 

 développe suivant les puissances descendantes de a , savoir : 



m— I m— 2 m— ô m— 4 

 « 1 o ,o ,a o" 



multipliées respectivement par 



I/T 2/7 3/t . n/T 



Donc , en détachant le facteur m""'' 0"*°'^° de l'expression , ci- 

 dessus (1), les coefficients A, B, C , D,... de d"»" divisé par i°", 

 n° 15 , seront compris dans l'expression 



q r s 

 a. • a. . a 



^q/l^^r/l_^s/l 



De plus nous avons prouvé que les coefficients A , B,C,... ne 

 comprennent successivement qu'un , deux , trois ,... facteurs , de ma- 

 nière que la somme des indices des caractéristiques d soit toujours 

 égale à n. Donc, en remplaçant les lettres d, par les lettres o,, o, o,,...; 



