( 350 ) 



Dit oneindig worden der integraal heeft tot oorzaak, 

 dat de functie onder het integraalteeken voor den boven- 

 sten grens x = 1, oneindig wordt, want alsdan is 



1 ir 



Arcsin. (1) = - : O -= m . Het is echter bekend, 



^ ' 1— 1 2 



dat het omgekeerde niet altijd plaats heeft; zoo wordt bij 



de integraal 



/■ xdx 



I Arcsin. x — , 



die veel overeenkomst met de vorige heeft, de functie on- 

 der het integraalteeken voor den grens 1 van x evenzeer 



1 TT 



Arcsin. (X)-- = — : O = oo , en toch heeft deze 



1/(1—1) 2 



integraal eene eindige waarde. Deze uitkomst was vooruit 



te zien, want uit de bepaling van eene bepaalde integraal 

 b 



j f[x)dx blijkt, dat Lim. 5/(6 — d) nul moet zijn (voor 



1 a 



Lim. 5 = 0), als de waarde der integraal eindig zal blij- 

 ven. Is nu in het eerste geval, waar è = 1 is, 



X 



f {x) = Arcfim. X -\ zoo wordt Lim. 5/(1 — 5) 



1 — X- 



1—5 



= Lim. S Arcsin. (1 — 5)- — - — — ^ =Lim. v4rmn.(l — b) 



— ; r- = h\m. Arcsin. i\ — ö) ^ =^ = — • 



23 — 3^ ' '2—3 22 4' 



dus wordt die Lim. niet nul en de bepaalde integraal is 



daarmede oneindig. In het tweede geval daarentegen is 



6=1 en /(.r) = Arcsin. x ; dus wordt 



V{\ — .«^) 



Lim.3/(1 — 5)==Lim.5 Arcsin.{\ — 3) 



;/{!— (1— 3)»} 



