90 JORNAL DE SCIENCIAS MATHEMATICAS 



Supprimindo no cylindro, cuja secção recta é BND, as porções das 

 geratrizes rectilíneas que se projectam dentro dos triângulos ABF e 

 DFE, e no outro as porções das geratrizes que se projectam nos triân- 

 gulos AFE e BDF, obtem-se uma superfície mixta, que é a que forma 

 o intradorso da abobada d'aresta. 



Trata-se pois de calcular o volume d'um solido limitado por o plano 

 horisontal ABDE, por os quatro planos verticaes AB, BD, DE, AE e 

 pelas partes não supprimidas dos dois cylindros. Começaremos por cal- 

 cular os volumes das porções d'este solido que são limitadas por os 

 planos verticaes correspondentes aos lados dos triângulos CBF e DCiF. 



Imagine-se um plano vertical parallelo ao plano do circulo rebatido 

 BND : é claro que este plano produz n'aquellas porções do solido duas 

 secções eguaes e rectangulares, que tem por bases PPi e ppi e por 

 altura a ordenada 3IP da ellipse. Designando por A a somma das áreas 

 d'estes dois rectângulos tem-se 



A = 2 .PPiXMP. 



Suppondo que é 



CP = x, AB=-=a, DD = b, 



será 



m=^('4--); 



e portanto 



Representando por ^ a somma dos volumes, que pretendemos ava- 

 liar, será V a somma dos volumes que tem por bases os triângulos 

 ABF 6 DFE, e ter-se-ha 



x"^ . dx. 



