PHYSICAS E NATUHAES 170 



que é a equação da liyperbule AD referida ao centro E. 



2.^ Tirando dois raios vectores dos focos A e B para qualquer 



ponto da trisectriz, aquelle que se dirigir ao foco mais próximo formará 



com o eixo BA um angulo duplo do que formar o outro (MBD^=2MAB). 



3.* O raio que se dirigir ao foco mais próximo será egual á parte 



do outro comprehendido entre os dois ramos {BM=MN'). 



Com effeito, 



MN'B = MAB-\-N'BA; 

 mas 



MAB^M'BA = MBM' e N'BA = M'BN': 

 logo 



MN'B = MBN': 

 e finalmente 



MB = MN'=MN^. 



4/ Os centros dos círculos inscriptos nos triângulos AM'B, forma- 

 dos pelos dois raios vectores A3/' e BM' de cada ponto da trisectriz, 

 existem no mesmo ramo a que esse ponto pertence. 



Por quanto AN' e BN' dividem respectivamente ao meio os ângu- 

 los M'AB e M'BA. 



^^ Todo o arco de circulo que passar pelos pontos Ae B tem por 

 tangentes nos ditos pontos os raios AM' e BM, conduzidos dos focos 

 aos pontos em que a trisectriz é cortada pelas secantes AI e BI tiradas 

 pelo meio do dito arco. É evidente. 



6."^ A distancia MN' entre os dois ramos da trisectriz, contada so- 

 bre um raio vector é meia proporcional entre as duas distancias MI e 

 MA do ponto mais afastado 31 ao eixo vertical e ao dito foco. 



Com effeito, pela proposição anterior é BM tangente d'um arco de 



circulo passando por B, I e A, e logo BM^^MI . MA; 

 mas, pela 3.^ 



BM=^MN': 

 logo _^ 



MN^=MI.MA. 



7.* Quando um triangulo MBI girar sobre o vértice B d'um de seus 

 ângulos no qual um dos lados forme angulo duplo do que forma o ou- 



